可持久化线段树

Posted 2021-03-18 rotepad

要想学主席树，首先要搞懂可持久化线段树，因为主席树运用到了它的思想。

主席树的模板题是：静态查询区间第k小

那么主席树的做法就是，先把全部数字离散化，然后以每一个前缀建一棵权值线段树，显然，如果直接建，那么空间上是不允许的，但是我们发现，每两个相邻的前缀中，只有一个数的差别，所以，他们公共部分是很多的，于是，我们就可以用到可持久化线段树了！

首先，要明确一下，主席树上每个节点的值的定义（我们设这个节点的管理范围为l~r，并且现在已经将这个数列离散化了）：表示在当前前缀中，有多少个数的值在l~r中。

确定主席树的定义十分重要！网上有很多讲的不清楚的，搞得我懵逼了很久……

比如有下面这个数列{9,3,11,6}，离散化后就是{3,1,4,2}，那么我们要以每一个前缀建一棵线段树，首先，先建一棵空的线段树，表示当前什么数都没有，然后，我们把数列里的数一个一个加进去就好了，就像这样（红色数字表示每个节点的值，意义如上所述）：

比如有下面这个数列{9,3,11,6}，离散化后就是{3,1,4,2}，那么我们要以每一个前缀建一棵线段树，首先，先建一棵空的线段树，表示当前什么数都没有，然后，我们把数列里的数一个一个加进去就好了，就像这样（红色数字表示每个节点的值，意义如上所述）：

 

那么首先加入第一个数——3，这棵树就会变成（节点里面是这个节点的管理范围，方便理解）：

 

再加一个数——1，注意要在上一个前缀的基础上加（自己yy一下就知道什么意思了）：

 

以此类推即可。。。最后得到的图是这个样子的（我画这个图是为了让大家后面可以看着这个图更好理解主席树，所以现在可以先不看...）：

 

好的，主席树就这样造出来了！那接下来就是查询，为了更好理解，我们先从简单的开始，假如要查询1~3范围中的第k小的数，假设k=2，那么可以直接从1~3这个前缀的根开始找， 也就是绿色的那个根，那么怎么找呢，因为可以保证，左边的数都比右边的数要小，所以我们发现，现在要找的是第2小，但是左儿子的值只有1，说明在1~3这个前缀里，在1~2范围内的只有1个数，那么第2小一定在右儿子里，于是我们往右儿子那里走一步，但是如果往右儿子那里走，k就要减去左儿子的值（蒟蒻语文不好。。实在想不到要怎么解释，自已意会一下吧，不难理解。。），然后因为k减了1，所以我们现在要找的就是第1小，然后发现当前节点的左儿子的值为1，k<=1，所以第k小一定在左儿子里，于是就走过去，然后发现这是个叶子节点，他管理的范围是3~3，说明这个第2小的数离散化之后的数是3，那么我们输出这个数原来是多少就好了，也就是9。

好的我们解决了在某个前缀中如何查找第k小，那么，现在要解决的问题是，查询区间第k小。

可能有人就会想到，你用前缀和来维护这个东西，那么要求一个区间就可以直接用前缀和相减嘛！

没错！就是相减。比如现在要求区间l~r的第k小，那么我们可以用a来存1~r这个前缀和上的根，b存1~l-1，那么每一次向下查找左右儿子的值的时候就先需要用a的左右儿子的值减去b的左右儿子的值，这样就可以去掉1~l-1中的数，只留下l~r区间的数，然后向上面一样查找即可。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n,m,len=0,cnt=0;
int a[200010];
struct nod{int x,y;};
nod b[200010];
struct node{int l,r,zuo,you,c;};
node tree[5000010];
int gen[200010];
bool cmp(nod x,nod y){return x.x<y.x;}
void buildtree(int x,int y)//标准线段树建树
{
len++;
tree[len].l=x;
tree[len].r=y;
tree[len].c=0;
tree[len].zuo=tree[len].you=-1;
int now=len,mid=(x+y)/2;
if(x<y)
{
tree[now].zuo=len+1;buildtree(x,mid);
tree[now].you=len+1;buildtree(mid+1,y);
}
}
void add(int x)
{
int now=gen[x-1];gen[x]=len+1;//从上一个前缀开始，now记录到了那个节点
do
{
int zuo=tree[now].zuo,you=tree[now].you;//记录下当前节点的左右儿子
len++;//新增一个节点
tree[len].c=tree[now].c+1;//这个节点的值+1，因为值有变动的节点才会新建
tree[len].l=tree[now].l;//管理范围不变
tree[len].r=tree[now].r;
if(zuo==-1)//假如这是个叶子节点
{
tree[len].zuo=tree[len].you=-1;//标记没有左右儿子
break;//退出
}
if(a[x]<=tree[zuo].r)//假如比当前节点左儿子的管理范围的右端点小，也就是在左儿子管理范围内
{
tree[len].you=you;//右儿子不变，直接使用
tree[len].zuo=len+1;//新建左儿子
now=zuo;//往下走
}
else//同上
{
tree[len].zuo=zuo;
tree[len].you=len+1;
now=you;
}
}while(now!=-1);
}
int find(int x,int y,int k)//查询x~y区间内的第k小
{
int now_zuo=gen[x-1],now_you=gen[y];//找到1~x-1这个前缀的根以及1~y的根
while(tree[now_you].zuo!=-1)//假如还不是叶子节点
{//以下内容可能会引起不适，谨慎观看。。。
int zuo=tree[tree[now_you].zuo].c-tree[tree[now_zuo].zuo].c;//算出now_you的左儿子的值减去now_zuo的左儿子的值
int you=tree[tree[now_you].you].c-tree[tree[now_zuo].you].c;//同上
if(k<=zuo)now_zuo=tree[now_zuo].zuo,now_you=tree[now_you].zuo;//假如在左儿子里面，就往左儿子那里走
else now_zuo=tree[now_zuo].you,now_you=tree[now_you].you,k-=zuo;//否则去右儿子那里，并且k减去左儿子的值
}
return tree[now_you].l;//返回这个第k小的数
}
int first[200010];

int main()
{
scanf("%d %d",&n,&m);//n个数，m个询问
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]),b[i].x=a[i],b[i].y=i;//为离散化做准备，b[i].x表示这个数的值，b[i].y表示这个数在数组中原来的位置
buildtree(1,n);
sort(b+1,b+n+1,cmp);//排序，按 值b[i].x 为关键字
b[0].x=-375024688;//。。。看一下下面的代码就知道我为什么要这样干了。。
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(b[i].x!=b[i-1].x)a[b[i].y]=++cnt;//直接在a数组上修改
else a[b[i].y]=cnt;
first[cnt]=b[i].x;//标记一下cnt这个离散化的数原来是多少
}
gen[0]=1;//记录每个前缀的根，gen[0]表示的是什么都没有的一开始的那棵线段树的根
for(int i=1;i<=n;i++)
add(i);//逐个添加
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,k;
scanf("%d %d %d",&x,&y,&k);//每次询问x~y区间内的第k小
printf("%d ",first[find(x,y,k)]);//找到第k小的数然后输出它原来是多少
}
}