Lyndon相关

Posted 2021-03-18 newbielyx

Lyndon Words

定义

对于字符串 (S)，若 (S) 的最小后缀为其本身，那么称 (S) 为 ( ext{Lyndon}) 串（( ext{Lyndon Words})）

即 (S in L)，(egin{cases} S是严格最小循环 \ minsuf(s)=s end{cases})。

性质

(Border(S)=varnothing)

推论

如果 (u,v in L, u prec vRightarrow uv in L)。

(mathcal{Proof.})

(1) s=u'v,u riangleleft u' Rightarrow uv < u'v)

(2) ext{to prove uv<v})

? (2.1) u riangleleft v Rightarrow uv<v)

? (2.2) u sqsubseteq v Rightarrow v=uv',v<v' Leftrightarrow uv<uv' Leftrightarrow uv<v)

(3) S=v',uv<v<v')

(Q.E.D.)

PS： ( riangleleft)：严格小于，且不是前缀，必有一个字母不同，(sqsubseteq)：前缀

(ex.) 如果 (u,vin L,u<v Rightarrow u^av^bin L)

显然。

Lyndon 分解 (Lyndon Factorization)

任意字符串 (s) 可以分解为 (s=s_1s_2s_3dots s_k)，其中 (s_i) 是 ( ext{Lyndon}) 串，(s_i ge s_{i+1})，且这种分解方法是唯一的。

(mathcal{Proof.})

先证存在性：

初始时每段一个字符，然后不断地将相邻两段 (s_i<s_{i+1}) 合并。

再证唯一性：

若有两种方案，取第一次不同的位置，设 (|s_i| > |s_i'|)，令 (s_i=s_i's_{i+1}' dots s_k'pre(s_{k+1}',l))，则
[ s_i<pre(s_{k+1}',l)le s_{k+1}' le s_i' < s_i,矛盾 ]

性质

1. (s_k) 是最长的 ( ext{Lyndon suffix})
2. (s_1) 是最长的 ( ext{Lyndon prefix})
3. (s_k=minsuf(s))

Duval 算法

( ext{Duval})