Euler’s Formula 关于欧拉公式的理解

Posted 2021-03-18 cricketx

目录

• Euler’s Formula 关于欧拉公式的理解
  • 1 前言（废话）
  • 2 预备知识
  • 3 概述
  • 4 对(e^{ix})的理解
  • 5 对(cos(x) + i sin(x))的理解
  • 6 结语

Euler’s Formula 关于欧拉公式的理解

1 前言（废话）

在看一些雷达相关的论文，从复信号开始迷糊，一连串的迷糊下来，迷糊到了欧拉公式。看到了BetterExplained的文章Intuitive Understanding Of Euler’s Formula解释的好妙啊！！作为一个孤陋寡闻的数学渣，俺被刷新了认知，一边看一边感叹，竟然觉得好有意思...真是这辈子少有的体验哈哈。

一开始想翻译来着，查了一下未经授权翻译是侵权。所以，在此复述一些我觉得比较重要的观点，分享一下哈，这应该不算侵权吧（查不到复述外文主要观点算不算侵权，如果算，希望可以提醒一下哈）。不过，还是推荐看原文，讲的很全面。

2 预备知识

在理解欧拉公式之前，我认为还需要对复数、指数增长有基本的理解。暂时没有去搜索中文的文章，在此放上BetterExplained的文章的传送门，可挑选部分关键的看（比如带图的部分）：

• 复数的理解：A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers
• 怎么理解虚数和复数？ - 李狗嗨的回答 - 知乎
• 指数函数及e的理解：An Intuitive Guide To Exponential Functions & e

搬运重要的结论：

• (e)的定义：
  

  

• 指数函数的理解：
  在(1)的基础长，以(r)的增长率，持续增长(t)的时间，最后总的增长量是(e^{rcdot t})。注意持续增长的理解，要与日常语境中的意义区分。
  

  

3 概述

欧拉公式：
[e^{ix} = cos(x) + i sin(x) ]

欧拉公式描述了什么？作者如是说：

Euler‘s formula describes two equivalent ways to move in a circle.

欧拉公式使用了2种等价的方法（即等式的左边和右边），来描述在一个圆弧上的运动。就是说，它描述了旋转运动。怎么理解呢？下文会分别对公式的左边和右边进行解释。

PS：值得注意的是，公式中等号的意义。在数学中，等号存在一定的歧义，它可以表示：1. 赋值；2. 等价（这种歧义在高级语言中就不存在啦）。欧拉公式中等号的意义是后者。

4 对(e^{ix})的理解

可以从以下几个方面来理解：

• 整体来看，把 (e^{ix}) 看作 (1cdot e^{ix}) ，把乘法看作一种变换，这个式子就可以理解为对(1)做(e^{ix}) 变换。
• 对于指数的理解：
  • 先回到熟悉的实数 (1cdot e^{3})，对于这个式子，我们可以理解为在(1)的基础上以(r)的增长率，(t)的时间持续增长，其中(rcdot t = 3)。所以“实指数增长”我们可以理解为：在(1)的基础上，以某个增长率，持续地增长某段时间。
  • “虚指数增长”就可以理解为：让(1)持续地旋转某段时间。
• 增长(x)个单位时间，就可以理解为沿着圆弧运动(x)
• (e^{ix})就可以理解为，从(1)开始，旋转(x)弧度

以 (x=pi) 时这个特殊情况为例。代入可得下式：
[e^{ipi} = -1 ]
对于式子(e^{ipi} = -1)就可以理解为，从1开始，旋转(pi)得到-1

图源：BetterExplained

* “虚指数增长”

先从实数开始考察，以 (3^{4}) 为例:

• 换一种方式来看底数 3：(3 = e^{ln(3)})，即把3看作以(ln(3))的增长率持续增长的结果（在1的基础上，增长1个单位时间）
• 那么(3^{4}) ，就可以看作以相同的增长率(ln(3))持续性地增长4倍长的时间
• 实指数的增长，即在原来的基础上，在“实”方向（与原方向同向）上拉长。

回到“虚“指数增长，则是在“虚”方向（与原始方向垂直的方向）旋转，且仅仅是旋转。

图源：BetterExplained

5 对(cos(x) + i sin(x))的理解

对于等式右边，典型的复数，对复数稍微有一些了解就非常容易理解。
暂不赘述了。

图源：BetterExplained

6 结语

没有完全照搬原文的结构，按照自己的理解重新梳理了一下，若有错误或者不恰当的地方，请批评指正。