浅谈OI中的数论

Posted 2020-11-15 valentino

  事情是这样的，我是一个萌新，然后萌新初学数论。qvq

  本篇文章的难度大概是gcd~莫比乌斯反演，说不定我还会写一点组合计数，容斥原理，线性代数的知识，当然，我估计我不会，因为咕咕。

  文章以数学证明为主，代码都好理解，所有的运算以计算机运算法则为准。qvq（人家的码风才不毒瘤）

  GCD&LCM

  即最大公约数和最小公倍数，这里介绍欧几里得求gcd。

  设(a,b)表示gcd(a,b)。

  求证：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

  证明：

  设a=k1*c,b=k2*c且（k1,k2）=1.

  则（a,b）=c.

  设k3=a/b(按照计算机运算法则，向下取整）

  则a%b=a-k3*b.

  则有a%b=a-k3*b=k1*c-k3*k2*c=(k1-k2*k3)*c.

  若（k2,k1-k2*k3）=1,(b,a%b)=c,则（a,b）=（b,b%a）.

  若（k2,k1-k2*k3）≠1,设k2=m1*d,k1-k2*k3=m2*d.

  则(a,b)=(k3*m1*d*c+m2*d*c,m1*d*c)=dc≠c，则假设不成立。

  综上所述，(a,b)=(b,a%b).

 证毕.

特别地，当b=0的时候，（a,b）=a。

LCM的求法：lcm（a,b）=a*b/gcd(a,b).就不证明了。

代码：

 

#include<cstdio>
int a,b;
int gcd(int a,int b)
{
    return (b==0)?a:gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a,int b)
{
    return a*b/gcd(a,b);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&a,&b);
    printf("GCD=%d LCM=%d
",gcd(a,b),lcm(a,b));
    return 0;
}