计数-Rook

Posted 2021-03-17 cjoiershiina-mashiro

Rook多项式

给定棋盘(B)，在(B)上放(k)个Rook并使任意两个Rook不同行、不同列的方案数记为(r_k(B))，构造Rook多项式(R(B)=sumlimits r_i(B)x^i)。
用(B_{(i)})表示去掉(i)所在行和列之后的剩余部分，用(B_{[i]})表示去掉(i)之后的剩余部分。
那么显然有(r_k(B)=r_{k-1}(B_{(i)})+r_k(B_{[i]}))，即(R(B)=xR(B_{(i)})+R(B_{[i]}))。
然后我们有两个很显然的结论：
交换棋盘的任意两行/列不会产生影响。
两个行列相互不交的棋盘相互独立。

分级棋盘

给定一个(minmathbb {N_+})，将(B)划分，第(i)级包含([(i-1)m+1,im])行。
现在我们要在这个棋盘上放Rook，满足所有Rook在不同级、不同列。
在(m)级棋盘(B)上放(k)个Rook的方案数记为(r_{m,k}(B))。

Rook分解

用来解决在特殊的棋盘上放Rook的问题。

Goldman-Joichi-White定理

给定棋盘(B=(b_1,cdots,b_n))，那么有(sumlimits_{k=0}^nr_k(B)x^{underline{n-k}}=prodlimits_{i=1}^n(x+b_i-i+1))。