Project Euler 做题记录

Posted 2021-03-17 athousandmoons

Project Euler 太好玩了。。。（雾

Problem 675

设 (omega(n)) 表示 (n) 的质因子个数，(S(n)=sum_{d|n}2^{omega(d)})，求 (F(n)=sum_{i=2}^nS(i!) mod (10^9+87))。

(n=10^7)

solution

(n=prod_{i=1}^kp_i^{e_i})
(S(n)=prod_{i=1}^k(2e_i+1))
线性筛求出每个数的最小质因子之后就可以对 (10^7) 以内的所有数质因数分解了。
时间复杂度 (O(sum_{i=1}^nomega(i)))

Problem 225

Tribonacci Number:(T_1=T_2=T_3=1)，(T_n=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3})。

求第 124 小的奇数 (k) 满足对任意正整数 (n)，(k ot|T_n)。

solution

答案很小，暴力即可。

Problem 137

设 Fibonacci 的生成函数为 (A_F(x))，若 (xin Q_+) 且 (A_F(x)in N_+)，则称 (A_F(x)) 为 Fibonacci golden nuggets。求第 15 小的这样的数。
[ egin{aligned}A_F(x)&=frac{x}{1-x-x^2} \&=frac{frac{c}{d}}{1-frac{c}{d}-frac{c^2}{d^2}} \&=frac{cd}{c^2-cd+d^2}end{aligned} ]
若 ((c,d)=1)，因为 ((cd,c^2-cd+d^2)=(c,c^2-cd+d^2)(d,c^2-cd+d^2)=(c,d^2)(d,c^2)=1)，所以 (c^2-cd+d^2=1)。

结论：(x=frac{F_{2n+1}}{F_{2n}})时 (n=F_{2n+1}F_{2n})，其中 (F_n) 是 Fibonacci 数。

证明咕了。。