力扣240——搜索二维矩阵

Posted 2021-03-17 death00

这道题主要是利用搜索二维矩阵本身的特性，找到其中的规律，就可以解决了。

原题

编写一个高效的算法来搜索?m?x?n?矩阵 matrix 中的一个目标值 target。该矩阵具有以下特性：

• 每行的元素从左到右升序排列。
• 每列的元素从上到下升序排列。

示例:

现有矩阵 matrix 如下：

[
  [1,   4,  7, 11, 15],
  [2,   5,  8, 12, 19],
  [3,   6,  9, 16, 22],
  [10, 13, 14, 17, 24],
  [18, 21, 23, 26, 30]
]

给定 target?=?5，返回?true。

给定?target?=?20，返回?false。

原题url：https://leetcode-cn.com/problems/search-a-2d-matrix-ii/

解题

这道题相比之前的二维矩阵，可能有序性没有之前那么强，所以没法直接拉成一个一维数组利用二分法查找，需要结合其特性，进行查找。

暴力解法

就是一行行、一列列慢慢找。假设是一个m * n的二维数组，那么时间复杂度就是O(mn)，这个方法没什么好说的，贴个代码看看：

class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
            for (int j = 0; j < matrix[0].length; j++) {
                if (matrix[i][j] == target) {
                    return true;
                }
            }
        }

        return false;
    }
}

行列同时寻找

这是我自己想的方法，就是每次查找行列，只查每一行每一列最大值和最小值。根据这个二维数组的特性，找出可能存在 target 的行列的范围，然后逐渐缩小，如果行列相同时，则开始遍历寻找。

让我们看看代码：

class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        if (matrix.length == 0) {
            return false;
        }
        return search(0, matrix.length - 1, 0, matrix[0].length - 1, matrix, target);
    }

    private boolean search(
        int rowStart, int rowEnd,
        int colStart, int colEnd,
        int[][] matrix, int target) {
        
        if (rowStart == rowEnd || colStart == colEnd) {
            if (rowStart == rowEnd) {
                for (int i = colStart; i <= colEnd; i++) {
                    if (matrix[rowStart][i] == target) {
                        return true;
                    }
                }
            } else {
                for (int i = rowStart; i <= rowEnd; i++) {
                    if (matrix[i][colStart] == target) {
                        return true;
                    }
                }
            }
            return false;
        }
        
        // 是否有合适的行，默认没有
        boolean has = false;
        // 新的rowStart、rowEnd
        int newRowStart = 0, newRowEnd = 0;
        // 筛选行
        for (int i = rowStart; i <= rowEnd; i++) {
            // 如果相等，说明找到了
            if (matrix[i][colStart] == target || matrix[i][colEnd] == target) {
                return true;
            }

            // target大于这一行的最大值，直接跳过
            if (target > matrix[i][colEnd]) {
                continue;
            }

            // target小于这一行的最小值，说明之后的就不用找了
            if (target < matrix[i][colStart]) {
                break;
            }

            // 如果是第一次找到
            if (!has) {
                has = true;
                newRowStart = i;
            }
            
            newRowEnd = i;
        }
        // 如果没有找到
        if (!has) {
            return false;
        }

        has = false;
        int newColStart = 0, newColEnd = 0;
        // 筛选列
        for (int i = colStart; i <= colEnd; i++) {
            // 如果相等，说明找到了
            if (matrix[newRowStart][i] == target || matrix[newRowEnd][i] == target) {
                return true;
            }

            // target大于这一列的最大值，直接跳过
            if (target > matrix[newRowEnd][i]) {
                continue;
            }

            // target小于这一列的最小值，说明之后的就不用找了
            if (target < matrix[newRowStart][i]) {
                break;
            }

            // 如果是第一次找到
            if (!has) {
                has = true;
                newColStart = i;
            }
            
            newColEnd = i;
        }
        // 如果没有找到
        if (!has) {
            return false;
        }

        return search(newRowStart, newRowEnd, newColStart, newColEnd, matrix, target);
    }
}

时间复杂度上，应该是比最基础的暴力法好一些，但应该也是没有本质区别。

行列同时二分查找

以行列总数中较小的那个数，选择构成正方形的正对角线，每一次按照二分法，查找相应的行列，可以参考下面这张图：

每次都会对行和列各用一次二分法，逐步排查。让我们看看代码：

class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        if (matrix == null || matrix.length == 0) {
            return false;
        }

        // 利用二分法搜索
        // 寻找出行数、列数中较小的那个值，作为迭代次数
        int count = Math.min(matrix.length, matrix[0].length);

        int low, high, middle;
        // 迭代循环
        for (int i = 0; i < count; i++) {
            // 从(i,i)开始，寻找这一行是否有target
            low = i;
            high = matrix[0].length - 1;
            while (low <= high) {
                middle = (low + high) / 2;
                if (matrix[i][middle] == target) {
                    return true;
                }
                if (matrix[i][middle] > target) {
                    high = middle - 1;
                } else {
                    low = middle + 1;
                }
            }

            // 从(i,i)开始，寻找这一列是否有target
            low = i;
            high = matrix.length - 1;
            while (low <= high) {
                middle = (low + high) / 2;
                if (matrix[middle][i] == target) {
                    return true;
                }
                if (matrix[middle][i] > target) {
                    high = middle - 1;
                } else {
                    low = middle + 1;
                }
            }
        }

        return false;
    }
}

这个方法的时间复杂度为O(lg(n!))。

这个算法产生的时间复杂度并不是特别明显的是 O(lg(n!)) ，所以让我们一步一步地分析它。
在主循环中执行的工作量逐渐最大，它运行 min(m,n)次迭代，其中 m 表示行数，n 表示列数。
在每次迭代中，我们对长度为 m-i 和 n-i 的数组执行两次二分查找。因此，循环的每一次迭代都以 O(lg(m-i)+lg(n-i)) 时间运行，其中 i 表示当前迭代。
我们可以将其简化为 O(2 lg(n-i))= O(lg(n-i)) ，在最坏的情况是 n≈m 。当 n?m 时，n 将在渐近分析中占主导地位。通过汇总所有迭代的运行时间，我们得到以下表达式：
O(lg(n)+lg(n?1)+lg(n?2)+…+lg(1))

然后，我们可以利用对数乘法规则（lg(a)+lg(b)=lg(ab)）将复杂度改写为：

O(lg(n)+lg(n?1)+lg(n?2)+…+lg(1))
=O(lg(n?(n?1)?(n?2)?…?1))
=O(lg(1?…?(n?2)?(n?1)?n))
=O(lg(n!))

划分为四个二维数组

这是一种递归查找，同样也是利用了这个二维搜索数组的特性。我们在当前矩阵中间的列上进行比较，如果小于 target 就继续向下比较，直到找到比 target 大的数，此时递归查找左上和右上的矩阵。

以下面这张图为例，我们假设target = 9，那么中间列找到 10 以后，发现比 9 大，因此寻找左上和右上两个标红的矩阵：

接下来我们看看代码：

class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        if (matrix == null || matrix.length == 0) {
            return false;
        }

        // 利用搜索二维矩阵的特性，划分为2个搜索矩阵进行递归搜索
        return searchRecursive(0, 0, matrix[0].length - 1, matrix.length - 1, matrix, target);
    }

    /**
     * 左上角和右下角的坐标，在这个二维矩阵中进行搜索
     */
    private boolean searchRecursive(
        int left, int up,
        int right, int down,
        int[][] matrix, int target) {
        // 此时矩阵的长度或者宽度为0，那么就没有必要搜索了
        if (left > right || up > down) {
            return false;
        }
        // 如果target小于该矩阵的最小值(左上角)或者大于该矩阵的最大值(右下角)，也没有必要搜索了
        if (target < matrix[up][left] || target > matrix[down][right]) {
            return false;
        }

        // 利用列进行拆分
        int mid = (left + right) / 2;
        // 从上到下开始寻找
        int row = up;
        for (; row <= down; row++) {
            if (matrix[row][mid] == target) {
                return true;
            }

            // matrix[row][mid]作为一个标准点，如果小于target，则继续往下一行寻找
            if (matrix[row][mid] < target) {
                continue;
            }

            // 如果matrix[row][mid]大于target，则停止增加
            break;
        }

        return searchRecursive(left, row, mid - 1, down, matrix, target) ||
               searchRecursive(mid + 1, up, right, row - 1, matrix, target);
    }
}

时间复杂度：O(nlgn)。分析如下：

单向寻找

结合该二维数组的特性，我们希望在进行比较的时候，只往一个方向寻找，这样可以简化查询步骤。如果从左上(最小)开始寻找时，如果 target 比当前值大，我们不知道是该往右移还是往下移，右下(最大)同理。

此时我们可以换一种思路，从左下开始，因为比它小的数一定在它右边，比它大的数一定在它右边，这样寻找的时候就简单多了。

接下来我们看看代码：

class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        if (matrix == null || matrix.length == 0) {
            return false;
        }

        // 从左下角开始寻找，如果当前值大于target，则向上移动一行；如果当前值小于target，则向右移动一列。
        // 直到找到target，或者超出矩阵边界

        // 列的最大值
        int colMax = matrix[0].length - 1;
        // 行列开始的下标
        int row = matrix.length - 1;
        int col = 0;

        while (row >= 0 && col <= colMax) {
            if (matrix[row][col] == target) {
                return true;
            }

            // 如果大于target，则向上移一行
            if (matrix[row][col] > target) {
                row--;
            }
            // 如果小于target，则向右一列
            else {
                col++;
            }
        }

        return false;
    }
}

时间复杂度：O(n+m)。如果和上面一样，假设 n << m，那么就是 O(m)，总的来说，还是比较高效的。

总结

以上就是这道题目我的解答过程了，不知道大家是否理解了。这道题目主要还是在于利用二维搜索数组的特性，完成解题。

有兴趣的话可以访问我的博客或者关注我的公众号、头条号，说不定会有意外的惊喜。

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公众号：健程之道