数学专题测试3

Posted 2021-03-17 hzoi-cbx

A. young

　　大概的意思是，将原图根据最高的二进制位分成两个部分，那么只要在这两个部分之间连一条边，统计这条边的方案数就可以统计贡献。

　　为了辅助转移，可以考虑枚举最小边的权值，之后就可以根据最高位的不同继续分成两个集合，于是可以递归下去求解。

　　然而并没有改。

B. Simple

　　难点大概在于第一步。

　　如果这个数中出现了循环节，那么一定不合法。如果没有循环节，那么将所有排列枚举出来，发现只有字典序最小的那一个数是合法的。于是所有没有循环节的数循环同构之后都必然会对答案贡献1。

　　于是只要求没有循环节的数的个数，发现这个东西和约数有很大关系，推一推可以发现是莫比乌斯，于是直接容斥就好了。

　　然后再推一推式子，发现要求的是$i*mu(i)$的前缀和，卷上$id$就变成了$e$，于是直接杜教筛就好了。

C. 小 H 爱染色

　　似乎没有想象中那么难。

　　推式子，发现只需要$ans(n)=sumlimits_{i=0}^{n-m} f(i)*C_{n-i}^{m}^{2}$，将相邻两项做差就是答案。

　　由于组合数是个$m$次多项式，$f$是个m次多项式，所以ans是个$3*m+1$次多项式，所以只要求出前$3m+2$项就可以暴力插值出第N项。

　　所以直接暴力NTT优化插值求出$f$然后暴力NTT求出$ans$就可以愉快的TLE了，然后去卡一年常就可以AC了。

　　然而这似乎并不是正解。由于我们只需要求两项的值，所我们并不需要$ans$这个多项式，实际上只要在n处的取值正确就可以了。

　　于是可以构造另一个多项式，使得这个多项式与$ans$在n处的取值相同即可，并且这个多项式的前$3m+2$项易于求出。

　　所以可以省掉一次NTT。

　　并不是很理解。