ABC #150 E. Change a Little Bit

Posted 2021-03-17 patt

题目。

经过一番分析，问题归为求 $sum_{i=0}^{n} inom{n}{i} (i+1)$。

考虑多项式 $p(x) := sum_{i=0}^{n} inom{n}{i} (i+1)x^{i}$，所求即 $p(1)$。
注意到 $p(x) = sum_{i=0}^{n} inom{n}{i} (x^{i + 1})‘ = (sum_{i=0}^{n} inom{n}{i} x^{i + 1})‘$。
而 $sum_{i=0}^{n} inom{n}{i} x^{i + 1} = x sum_{i=0}^{n} inom{n}{i} x^{i} = x(x+1)^{n}$。
故 $p(x) = (x(x+1)^{n})‘ = (x+1)^{n} + nx(x+1)^{n-1}$，于是 $p(1) = 2^{n} + n2^{n - 1}$。

又 $sum_{i=0}^{n} inom{n}{i} (i+1) = 2^{n} + sum_{i=0}^{n} inom{n}{i} i$，于是有 $sum_{i=0}^{n} inom{n}{i} i = n2^{n-1}$。