多项式模板

Posted 2021-03-17 ryedii-blog

泰勒展开 & 倍增

对于给定 (G(x)) 求满足 (G(F(x))equiv 0pmod{x^n}) 的 (F(x))。

假设当前已知 (G(F_0(x))equiv 0pmod{x^{lceilfrac{n}{2} ceil}})，将 (G(F(x))) 在 (F_0(x)) 处泰勒展开，则

[ egin{aligned} G(F(x))&=sum_{i=0}^{+infty}frac{G^{(i)}(F_0(x))}{i!}(F(x)-F_0(x))^i&equiv G(F_0(x))+G'(F_0(x))(F(x)-F_0(x))equiv 0&pmod{&x^n} F(x)&equiv F_0(x)-frac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))}&pmod{&x^n} end{aligned} ]

多项式求逆(inv)

令

[ H(F(x))=frac{1}{F(x)}-G(x)equiv 0pmod{x^n} ]

则

[ F(x)equiv F_0(x)-frac{frac{1}{F_0(x)}-G(x)}{-frac{1}{F_0(x)^2}}equiv F_0(x)(2-G(x)F_0(x))pmod{x^n} ]

多项式开方(sqrt)

令

[ H(F(x))=F^2(x)-G(x)equiv 0pmod{x^n} ]

则

[ F(x)equiv F_0(x)-frac{F_0(x)^2-G}{2F_0(x)}equiv frac{1}{2}(F_0(x)+frac{G(x)}{F_0(x)})pmod{x^n} ]