省选模拟4

Posted 2021-03-17 gkeng

好久不写博客了啊（懒啊）（颓啊）（不想动啊）
_(:з」∠)_

(T1:)
容易想到根据包含关系建出一颗树，然后简单DP就行了
考虑怎么建树
首先有个结论
如果一个圆心A被圆B包含，且(r_A < r_B)，那么圆A被圆B包含（根据不相交的性质易知）
考虑有r的限制关系，把圆按照r从小到大排序
每次用当前圆去覆盖，把所有覆盖到的圆心向当前圆连边并删去，用KD-tree或二维线段树维护即可

(T2:)
通过打表可以发现(ans(n,k)=lcm_{i=n-k+1}^n(i))
首先不能直接求，因为lcm过大，且过程中不能取模
考虑分解质因数，对于每个质因子的指数取max即可，复杂度(O(n^2))

考虑优化，构造n个数组D，满足(prod_{i=n-k+1}^n D_n[k] = ans(n,k))
发现(D_n)与(D_{n+1})的差异不大，于是可以通过(D_n)来构造(D_{n+1})
首先令(D_{n+1}[i]=D_n[i] (i leq n)),(D_{n+1}[n+1]=n+1)，显然有问题
考虑对(n+1)分解质因子，设(n+1=p_1^{c_1}*p_2^{c_2}*...p_k^{c_k})
对于任意一个(p_i)将D数组中最靠后的(c_i)个(p_i)除去即可，这样构造出的新数组显然满足条件

因为(sum c)是(log)级别的，所以每次只会修改(log)个位置，用主席树维护
构造复杂度为(O(nlog^2n))
查询时输出第n颗线段树的(prod_{i=n-k+1}^n D[i])即可
查询复杂度为(O(Qlogn))

(T3:)
250行代码，wsl
表示看不懂题解...所以说说我的做法...

首先可以发现这是个仙人掌，而且还是特殊的仙人掌（仙人球？？？）
它不仅仅满足每条边只在一个简单环内，它还满足每个点只在一个简单环内！！！
容易想到边双缩点，但发现缩完后就不会做了...

仔细分析题目性质可以发现
1.如果s到t的路径上有一个环，那么这个环上的最小边一定满流！
2.如果s和t在一个环上，那么这个环上的最小边一定满流！
3.如果s和t一个在环上一个在环外，那么这个环上的最小边一定满流！
总之，经过的环上的最小边一定满流！

那么我们就可以将每个环上的最小边的容量加到环的其他边上，将原图转化为一颗树，两点的最大流就是链上的最小值

那还要动态修改边权怎么办呢？
发现如果最小边变化的话，树的形态也会发生改变，链上加的权值也会改变

综上所述，我们需要一个数据结构进行以下操作：
1.维护树的形态
2.查询链上的最小值以及其编号
3.链上加一个值

LCT就行了...

于是最终的代码为：
1.tarjan (30行)
2.LCT (100行)
3.大力分类讨论 (60行)
（4.7KB）
。。。。。。。

ps: 数据锅了啊，第8组数据最后面炸了啊！！！