模拟退火

Posted 2020-11-15 lemon1234

一、什么是模拟退火算法

1、爬山算法

在了解模拟退火算法之前，先来看一下爬山算法：爬山算法是一种贪心算法，该算法每次从当前的解空间中选取一个解作为最优解，直到达到一个局部最优解。假设函数f(x)的图像如下图：

现在使用爬山算法来求f(x)的最大值，若C为当前最优解，则爬山算法搜索到A就会停止搜索，这会获得一个局部最优解，而不是全局最优解。

模拟退火：继续考虑寻找f(x)最大值的问题，爬山算法搜索到A点时就会停止搜索，原因是A点左右的值均小于A点的值。模拟退火算法采用的解决办法是以一定的概率选择A两边的点，尽管A两边的点并不是局部最优解，这样就有一定的概率搜索到D点，从而搜索到B点，最终获得了全局最优解。

2、模拟退火算法

 

现在想求函数的（全局）最优解。如果采用Greedy策略，那么从A点开始试探，如果函数值继续减少，那么试探过程就会继续。而当到达点B时，显然我们的探求过程就结束了（因为无论朝哪个方向努力，结果只会越来越大）。最终我们只能找打一个局部最后解B。

模拟退火其实也是一种Greedy算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以上图为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解B后，会以一定的概率接受向右继续移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达B 和C之间的峰点，于是就跳出了局部最小值B。

模拟退火算法（Simulate Anneal，SA）是一种通用概率演算法，用来在一个大的搜寻空间内找寻命题的最优解

    爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。

　　模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。

使用模拟退火算法解决旅行商问题

旅行商问题(TravelingSalesmanProblem，TSP)是一个经典的组合优化问题。经典的TSP可以描述为：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，该推销员从一个城市出发，需要经过所有城市后，回到出发地。应如何选择行进路线，以使总的行程最短。该问题可以使用模拟退火算法解决，C++代码如下：

 

使用模拟退火算法可以比较快的求出TSP的一条近似最优路径。（使用遗传算法也是可以的，我将在下一篇文章中介绍）模拟退火解决TSP的思路：

 

1. 产生一条新的遍历路径P(i+1)，计算路径P(i+1)的长度L( P(i+1) )

 

2. 若L(P(i+1)) < L(P(i))，则接受P(i+1)为新的路径，否则以模拟退火的那个概率接受P(i+1) ，然后降温

 

3. 重复步骤1，2直到满足退出条件

 

　　产生新的遍历路径的方法有很多，下面列举其中3种：

 

1. 随机选择2个节点，交换路径中的这2个节点的顺序。

 

2. 随机选择2个节点，将路径中这2个节点间的节点顺序逆转。

 

3. 随机选择3个节点m，n，k，然后将节点m与n间的节点移位到节点k后面。

 

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <math.h>

#define N     30      //城市数量
#define T     3000    //初始温度
#define EPS   1e-8    //终止温度
#define DELTA 0.98    //温度衰减率

#define LIMIT 1000   //概率选择上限
#define OLOOP 20    //外循环次数
#define ILOOP 100   //内循环次数

using namespace std;

//定义路线结构体
struct Path
{
    int citys[N];
    double len;
};

//定义城市点坐标
struct Point
{
    double x, y;
};

Path bestPath;        //记录最优路径
Point p[N];       //每个城市的坐标
double w[N][N];   //两两城市之间路径长度
int nCase;        //测试次数

double dist(Point A, Point B)
{
    return sqrt((A.x - B.x) * (A.x - B.x) + (A.y - B.y) * (A.y - B.y));
}

void GetDist(Point p[], int n)
{
    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = i + 1; j < n; j++)
            w[i][j] = w[j][i] = dist(p[i], p[j]);
}

void Input(Point p[], int &n)
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%lf %lf", &p[i].x, &p[i].y);
}

void Init(int n)
{
    nCase = 0;
    bestPath.len = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        bestPath.citys[i] = i;
        if(i != n - 1)
        {
            printf("%d--->", i);
            bestPath.len += w[i][i + 1];
        }
        else
            printf("%d
", i);
    }
    printf("
Init path length is : %.3lf
", bestPath.len);
    printf("-----------------------------------

");
}

void Print(Path t, int n)
{
    printf("Path is : ");
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        if(i != n - 1)
            printf("%d-->", t.citys[i]);
        else
            printf("%d
", t.citys[i]);
    }
    printf("
The path length is : %.3lf
", t.len);
    printf("-----------------------------------

");
}

Path GetNext(Path p, int n)
{
    Path ans = p;
    int x = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
    int y = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
    while(x == y)
    {
        x = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
        y = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
    }
    swap(ans.citys[x], ans.citys[y]);
    ans.len = 0;
    for(int i = 0; i < n - 1; i++)
        ans.len += w[ans.citys[i]][ans.citys[i + 1]];
    cout << "nCase = " << nCase << endl;
    Print(ans, n);
    nCase++;
    return ans;
}

void SA(int n)
{
    double t = T;
    srand((unsigned)(time(NULL)));
    Path curPath = bestPath;
    Path newPath = bestPath;
    int P_L = 0;
    int P_F = 0;
    while(1)       //外循环，主要更新参数t，模拟退火过程
    {
        for(int i = 0; i < ILOOP; i++)    //内循环，寻找在一定温度下的最优值
        {
            newPath = GetNext(curPath, n);
            double dE = newPath.len - curPath.len;
            if(dE < 0)   //如果找到更优值，直接更新
            {
                curPath = newPath;
                P_L = 0;
                P_F = 0;
            }
            else
            {
                double rd = rand() / (RAND_MAX + 1.0);
                //如果找到比当前更差的解，以一定概率接受该解，并且这个概率会越来越小
                if(exp(dE / t) > rd && exp(dE / t) < 1)
                    curPath = newPath;
                P_L++;
            }
            if(P_L > LIMIT)
            {
                P_F++;
                break;
            }
        }
        if(curPath.len < bestPath.len)
            bestPath = curPath;
        if(P_F > OLOOP || t < EPS)
            break;
        t *= DELTA;
    }
}

int main(int argc, const char * argv[]) {

    freopen("TSP.data", "r", stdin);
    int n;
    Input(p, n);
    GetDist(p, n);
    Init(n);
    SA(n);
    Print(bestPath, n);
    printf("Total test times is : %d
", nCase);
    return 0;
}

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转自：https://www.cnblogs.com/sench/p/9427193.html