尼姆博弈

Posted 2021-03-16 aichangetheworld

尼姆博弈（Nimm‘s Game）

　　n堆物品，两人轮流取至少一个，最后一个取光的人胜利

1 int res = 0;
2 for(int i=1;i<=n;i++){
3     res = res ^ a[i];
4 }
5 if(res) return true;
6 else return false;

题目：有3堆硬币，分别是3，4，5。两人轮流取硬币，每人每次只能从某一堆中取至少一枚硬币，取到最后一枚硬币的为赢家。求先取硬币一方有无必胜的招法。

分析

首先可以想到，如果最后剩下两堆硬币一样多（不为零），最后一堆为零，那面对这一局势的人必输。

用（a,b,c）表示某种局势。（0,0,0）显然是必输态，谁遇到这种状态必输；另一种必输态就是（n,n,0），自己在某一堆拿走k枚硬币（0<k<=n），k在该区间为任意值，对方只要在另一堆中拿走k枚硬币，最后都是自己面临（0,0,0）状态，必输；仔细分析，（1,2,3）也是必输态，无论自己如何拿，对手都可以把局势变成（n,n,0）态。

因此现在要找到这种奇异局势的特点。

有人就想到使用异或操作，异或‘^’，a^b = a‘b+ab‘（a‘为非a）。

我们使用XOR表示这种运算，1 XOR 1 = 0。（1,2,3）的按位模2加的运算：

          1 = 01

          2 = 10

XOR  3 = 11

----------------------------

          0 = 00（不进位）

对于（n,n,0）局势也一样，结果为0。

任何奇异局势（a,b,c）都有a  XOR  b  XOR  c = 0

如果我们面对的是一个非必输态（a,b,c），如何保持自己必胜，让对手面对必输态呢？

假设a<b<c，我们只需将c变为a XOR b。

因为a XOR b XOR （a XOR b） = （a XOR a）XOR（b XOR b）= 0 XOR 0 = 0。

要将c变为a XOR b，只需对c进行|c - （a XOR b）|运算即可（取绝对值就行）。

如例题中的（3,4,5），先3 XOR 4 = 111，再|101 - 111| = 010 = 2。

 1     static void f(int[] a){
 2         int sum = 0;//与0进行异或操作值不变
 3         for(int i = 0; i < a.length; i++){
 4             sum ^= a[i];//异或操作
 5         }
 6         if(sum == 0){
 7             System.out.println("输了");
 8                 return;
 9         }
10         //打印必胜的方法
11         for(int i=0; i<a.length; i++){
12             int x = sum ^ a[i];
13             if(x<a[i]) System.out.println(a[i] + " --> " + x);
14         }
15     }

因此面对开局非必输态（a,b,c）且先手，取得必胜操作就是：对a进行|a - （b XOR c）| 或者 对b进行|b - （a XOR c）| 或者 |c - （a XOR b）|。

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