皮尔逊相关系数及其MATLAB实现

Posted 2021-03-16 jetskyyyy

皮尔逊相关系数及其MATLAB实现

 

一、参考链接

1.http://blog.csdn.net/wsywl/article/details/5727327

2.http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/2631907.html

3.http://blog.sciencenet.cn/blog-479412-641317.html

二、初稿时间

2020年1月13日

三、皮尔逊相关系数

1. 什么是相关系数？为什么会有相关系数？

   相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标,相关系数的平方称为判定系数。

2. 相关系数的几种类型

   相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式：

（1）简单相关系数：又叫皮尔逊相关系数或线性相关系数，一般用字母P 表示，是用来度量变量间的线性关系的量。

（2）复相关系数：又叫多重相关系数。复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。例如，某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。

（3）典型相关系数：是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。

3. 相关系数的性质

相关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1。其性质如下：

• 当r>0时，表示两变量正相关，r<0时，两变量为负相关。

• 当|r|=1时，表示两变量为完全线性相关，即为函数关系。

• 当r=0时，表示两变量间无线性相关关系。

• 当0<|r|<1时，表示两变量存在一定程度的线性相关。且|r|越接近1，两变量间线性关系越密切；|r|越接近于0，表示两变量的线性相关越弱。

• 一般可按三级划分：|r|<0.4为低度线性相关；0.4≤|r|<0.7为显著性相关；0.7≤|r|<1为高度线性相关。

4. 相关系数适用范围

 

当两个变量的标准差都不为零时，相关系数才有定义，皮尔逊相关系数适用于：

 (1) 两个变量之间是线性关系，都是连续数据。

 (2) 两个变量的总体是正态分布，或接近正态的单峰分布。

 (3) 两个变量的观测值是成对的，每对观测值之间相互独立。

5. 皮尔逊相关系数的计算公式

   皮尔逊相关也称为积差相关（或积矩相关）是英国统计学家皮尔逊于20世纪提出的一种计算直线相关的方法。

假设有两个变量X、Y，那么两变量间的皮尔逊相关系数可通过以下公式计算：

公式一：

公式二：

公式三：

公式四：

以上列出的四个公式等价，其中E是数学期望，cov表示协方差，N表示变量取值的个数。

6. 相关系数的检验

   置信度 =  1 - 显著性水平，置信度越高（显著性水平越低）说明我们越有把握相信两者相关。

四、程序实现

1. MATLAB中自带的相关系数计算函数

%*************************************************************************%

 %程序目的：学习理解简单相关系数，学习MATLAB中和简单相关系数相关的函数

 %2017年01月13日  

 %------------------经验积累S---------------------%

  %(1)MATLAB中的corr函数是按照列进行相关系数计算的，所以函数的输入变量要确保至少

     %2列，每列至少2个元素（1*n和1*n的向量是无法计算相关系数的）

  %(2)corrcoef也可以计算相关系数，但是corrcoef计算相关系数时自动把m*n矩阵，变为

     %向量，具体参考函数文档说明

  %(3)corr函数默认计算的是Pearson相关系数

  %(4)reshape函数用于矩阵的重塑

 %------------------经验积累E---------------------%

%*************************************************************************%

 

clc;

clear all;

 

X = [1,6,7,14,13,28,31,43,55,68,77,87];

Y = [2,3,9,15,12,34,32,44,56,72,74,81];

Z = [X‘,Y‘];

 

% 比较PCor1和PCor2，理解corr函数是如何按照列计算相关系数的

PCor1 = corr(X‘,Y‘);

% disp([‘PCor1 = ‘,num2str(PCor1)]);

PCor2 = corr(Z);

 

% 比较corrcoef的计算结果和corr计算结果的差异

PCor3 = corrcoef(X‘,Y‘);

PCor4 = corrcoef(Z);

 

% 加入显著性水平P

[PCor5,P5] = corr(X‘,Y‘);

[PCor6,P6] = corr(Z);

 

% 通过此处进一步理解corr按列计算相关系数

K = rand(12,2).*10; L = rand(12,2).*10;

M = [Z,K]; N = [Z,L];

[PCor7,P7] = corr(M,N);

 

% 比较corrcoef和corr的计算结果，理解corrcoef的计算方式

[PCor8,P8] = corrcoef(M,N);

M2 = reshape(M,[],1);

N2 = reshape(N,[],1);

[PCor9,P9] = corrcoef(M2,N2);

[PCor10,P10] = corr(M2,N2);