CF578F Mirror Box 图论,Matrix-Tree

Posted 2021-03-16 athousandmoons

题目链接：LUOGU

题目描述：在一个 (n imes m) 的网格图中，每个格子里摆放着一个镜子，两种情况 /和。

一个网格合法，当且仅当从任意一个边界段垂直射进网格中，光线会从相邻的边界段射出，同时网格中的每一段都被至少一条光线穿透。

现在网格中有 (k) 个位置的镜子形状不确定（用*表示），求合法网格数量( ext{mod} p)。

数据范围：(n,mle 100,kle 200,3le ple 10^9+7)，(p) 为质数。

题解分析：首先你要知道什么叫对偶图（我觉得可能只有我之前不知道）

平面图大家都知道是什么了。

对偶图就是，对于一个平面图 (G)，对偶图的点集就是 (G) 的面，两个点之间有边就是原图中两个面有公共边。

一个重要的性质：平面图的割与对偶图的简单环一一对应。

（图片来源：qzqzgfy的博客）

看这张图，(s')到(t')的路径可以把原图分为两个联通子集，也就是割。

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上面是前置芝士，接下来我们考虑这道题。

我们在这个图上加一些镜子，那么从左上角射入就又会从左上角射出，所以它的对偶图恰包含一个简单环，所以有一个割。然而如果对这个图黑白染色，那么每条边只会连接两个相同颜色的点。所以黑色点和白色点就是一个割。所以联通块个数为 (2)。

又因为点数(=(n+1)(m+1))，边数(=mn+m+n-1)（上面那张图加的镜子中每三条边实际上是一条边），所以联通块个数=点数-边数，所以整个图就是两棵树。其中一棵树是手动连起来的，另外一棵树是只靠原图中的边连起来的，所以答案就是黑色点组成树的方案数+白色点组成树的方案数（这张图只是两种情况中的一种）。先把确定的边连起来，再使用 Matrix-Tree 定理计算生成树个数。时间复杂度 (O(nmalpha(nm)+k^3))。

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