寒假集训第二天---最小生成树题解

Posted 2021-03-15 wifepi

CodeForces - 606D Lazy Student

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题目大意：m条边，每条边给权值和是否在最小生成树里，问能否构造出一个图满足边

思路：排序，对可行的边与1相连，对于不可行的边其它已连结点相连，直到连完或者不满足条件

卡点：对于权值相同的边，在最小生成树里的边的优先级较高

代??

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 10 ;
struct node
{
    int val, flag, pos ;
    int u, v ;
}edge[maxn], edge2[maxn] ;
struct Node
{
    int u, v ;
}edd[maxn], edd2[maxn];
vector<int> ve[maxn] ;
bool cmp(node x, node y)
{
    if(x.val == y.val) return x.flag > y.flag ;
    return  x.val < y.val ;
}
bool cmp2(node x , node y)
{
    return x.pos < y.pos ;
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    int n, m ;
    scanf("%d %d",&n,&m) ;
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i) ve[i].clear(), ve[i].push_back(i) ;
    for(int i = 1, val, flag ; i <= m ; ++ i)
    {
        scanf("%d %d",&edge[i].val,&edge[i].flag) ;
        edge2[i].val = edge[i].val ;
        edge2[i].flag = edge[i].flag ;
        edge[i].pos = i ;
    }
    sort(edge+1,edge+1+m,cmp) ;
    int cnt = 1 ;
    for(int i = 1 ; i <= m ; ++ i)
    {
        if(edge[i].flag == 0)
        {
            int pos = 2 ;
            int ff = 0 ;
            while(pos < cnt)
            {
                int len = ve[pos].size() ;
                if(ve[pos][len-1] < cnt)
                {
                    int x = ve[pos][len-1] + 1 ;
                    ve[pos].push_back(x) ;
                    edge[i].u = pos ;
                    edge[i].v = x ;
                    ff = 1 ;
                    break ;
                }
                else ++ pos ;
            }
            if(ff == 0)
            {
                printf("-1
") ;
                return 0 ;
            }
        }
        else
        {
            ++ cnt ;
            ve[1].push_back(cnt) ;
            edge[i].u = 1 ;
            edge[i].v = cnt ;
        }
    }
    sort(edge+1,edge+1+m,cmp2) ;
    for(int i = 1 ; i <= m ; ++ i) printf("%d %d
",edge[i].u,edge[i].v) ;
    return 0;
}

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UVA 1395 Lazy Student

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题目大意：给一幅图，问所有生成树里该生成树边权值最大的减去权值最小的最小值是多少

思路：按照权值给边排序，每跑完一次最小生成树就去把此时最小的边从边的总集里删去，每次计算出来的最小生成树的差值的最小值即为所求

卡点：要使得最后的值最小，在我选定一条边的时候，最小值一定出现在包括这条边的最小生成树里

代??

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAX = 0x3f3f3f3f ;
int fa[128] ;
int cnt = 0 ;
struct node
{
    int u, v, w ;
}edge[5000] ;
int Find(int x)
{
    return x == fa[x] ? fa[x] : fa[x] = Find(fa[x]) ;
}
int merge(int x , int y , int n)
{
    int fx = Find(x) ;
    int fy = Find(y) ;
    if(fx != fy)
    {
        ++ cnt ;
        fa[fx] = fy ;
        return 1 ;
    }
    return 0 ;
}
bool cmp(node x, node y)
{
    return x.w < y.w ;
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    int n , m ;
    int MIN = MAX ;
    while(scanf("%d %d",&n,&m) != EOF)
    {
        if(n == 0 && m == 0) break ;
        cnt = 0 ;
        MIN = MAX ;
        int maxx = 0 ;
        for(int i = 1; i <= m ; ++ i) scanf("%d %d %d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].w) ;
        for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i) fa[i] = i ;
        sort(edge+1,edge+1+m,cmp) ;
        for(int i = 1 ; i <= m ; ++ i)
        {
            int flag = merge(edge[i].u,edge[i].v,i) ;
            if(flag) maxx = edge[i].w - edge[1].w ;
        }
        //printf("%d
",maxx) ;
        if(cnt != n - 1)
        {
            printf("-1
") ;
            continue ;
        }
        MIN = maxx ;
        cnt = 0 ;
        for(int i = 2 ; i <= m, m-i+1>=n-1 ; ++ i)
        {
            for(int k = 1 ; k <= n ; ++ k) fa[k] = k ;
            cnt = 0 ;
            for(int j = i ; j <= m ; ++ j)
            {
                int flag = merge(edge[j].u,edge[j].v,j) ;
                if(flag) maxx = edge[j].w - edge[i].w ;

                if(cnt == n - 1) break ;
            }
            //printf("cnt = %d
",cnt) ;
            if(cnt != n - 1) continue ;
            MIN = min(MIN,maxx) ;
        }
        printf("%d
",MIN) ;
    }

    return 0;
}

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POJ 1679 The Unique MST

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题目大意：问最小生成树是否唯一

思路：跑一遍次小生成树，与最小生成树比较权值

卡点：在求次小生成树中求的包括给定边的最小生成树，如果满足条件退出，给wa，跑完次小生成树再去判断，A了，我太菜了不太明白

代??

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std ;

const int maxn = 1000 + 10, maxe = 1000 * 1000 / 2 + 5, INF = 0x3f3f3f3f ;
int n, m, fa[maxn], Max[maxn][maxn] ;
struct Edge
{
    int u, v, w ;
    bool vis ;
}edge[maxe] ;
vector<int> G[maxn] ;

bool cmp(const Edge &a, const Edge &b)
{
    return a.w < b.w ;
}

void Init()
{
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
    {
        G[i].clear() ;
        G[i].push_back(i) ;
        fa[i] = i ;
    }
}

int Find(int x) {
    if(fa[x] == x) return x ;
    return fa[x] = Find(fa[x]) ;
}

int Kruskal()
{
    sort(edge + 1, edge + 1 + m, cmp) ;
    Init() ;
    int ans = 0, cnt = 0 ;
    for(int i = 1 ; i <= m ; ++ i)
    {
        if(cnt == n - 1) break ;
        int fx = Find(edge[i].u), fy = Find(edge[i].v) ;
        if(fx != fy)
        {
            cnt ++ ;
            edge[i].vis = true ;
            ans += edge[i].w ;
            int len_fx = G[fx].size(), len_fy = G[fy].size() ;
            for(int j = 0 ; j < len_fx ; ++ j)
                for(int k = 0 ; k < len_fy ; ++ k)
                    Max[G[fx][j]][G[fy][k]] = Max[G[fy][k]][G[fx][j]] = edge[i].w ;
            fa[fx] = fy ;
            for(int j = 0 ; j < len_fx ; ++ j)
                G[fy].push_back(G[fx][j]) ;
        }
    }
    return ans ;
}

int Second_Kruskal(int MST)
{
    int ans = INF ;
    for(int i = 1 ; i <= m ; ++ i)
        if(!edge[i].vis)
            ans = min(ans, MST + edge[i].w - Max[edge[i].u][edge[i].v]) ;
    return ans ;
}

int main()
{
    int t ;
    scanf("%d", &t) ;
    while(t --)
    {
        scanf("%d %d", &n, &m) ;
        for(int i = 1 ; i <= m ; ++ i)
        {
            scanf("%d %d %d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].w) ;
            edge[i].vis = false ;
        }
        int MST = Kruskal() ;
        int Second_MST = Second_Kruskal(MST) ;
        if(Second_MST == MST) printf("Not Unique!
") ;
        else printf("%d
", MST) ;
    }
    return 0 ;
}

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HUD 4463 Outlets

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题目大意：求有固定边的最小生成树

思路：把固定边权值赋为0，再去跑最小生成树即可

卡点：无

代??

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 2e3 ;
int fa[55] ;
int n, m, p, q ;
int mp[55][5] ;
double tot = 0 ;
struct node
{
    int u, v ;
    double w ;
}edge[maxn] ;
int Find(int x)
{
    return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = Find(fa[x]) ;
}
void merge(int x, int y, int n)
{
    int fx = Find(x) ;
    int fy = Find(y) ;
    if(fx != fy)
    {
        fa[fx] = fy ;
        tot += edge[n].w ;
    }
}
bool cmp(node x , node y)
{
    return x.w < y.w ;
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    while(scanf("%d",&n) != EOF)
    {
        if(n == 0) break ;
        for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i) fa[i] = i ;
        tot = 0.0 ;
        scanf("%d %d",&p,&q) ;
        for(int i = 1, u, v ; i <= n ; ++ i)
        {
            scanf("%d %d",&mp[i][0],&mp[i][1]) ;
        }
        int cnt = 0 ;
        if(p > q) swap(p,q) ;
        for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
        {
            for(int j = i + 1 ; j <= n ; ++ j)
            {
                edge[++ cnt].u = i ;
                edge[cnt].v = j ;
                edge[cnt].w = 1.0 * sqrt((mp[i][0] - mp[j][0])*(mp[i][0] - mp[j][0]) + (mp[i][1] - mp[j][1])*(mp[i][1] - mp[j][1])) ;
                if(i == p && j == q) tot = edge[cnt].w, edge[cnt].w = 0.0 ;
            }
        }
        sort(edge+1,edge+1+cnt,cmp) ;
        for(int i = 1 ; i <= cnt ; ++ i)
        {
            merge(edge[i].u,edge[i].v,i) ;
        }
        printf("%.2lf
",tot) ;
    }
    return 0;
}

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CodeForces - 1108F MST Unification

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题目大意：n个顶点，至少n-1条边，可以对边的权值进行加1操作，这样算一次操作，问最少要几次操作才能使得最小生成树唯一

思路：跑kruskal的过程中，对于权值相等的边，计算出矛盾边的数量，累加矛盾边就是最后答案。矛盾边定义为加了x边不能加其他权值相等的边，这些边姑且称作矛盾边。但要注意，权值相等不一定矛盾。

卡点：参考博客，巨清晰

代??

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 10 ;
#define ll long long
int n , m ;
struct node
{
    int u, v, w ;
}edge[maxn] ;
int fa[maxn] ;
int Find(int x)
{
    return x == fa[x] ? fa[x] : fa[x] = Find(fa[x]) ;
}
bool cmp(node x , node y)
{
    return x.w < y.w ;
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    scanf("%d %d",&n,&m) ;
    for(int i = 1, u, v, w ; i <= m ; ++ i)
    {
        scanf("%d %d %d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].w) ;
    }
    sort(edge+1,edge+1+m,cmp) ;
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i) fa[i] = i ;
    int tot = 0 ;
    for(int i = 1 ; i <= m ;)
    {
        int cnt = 0 ;
        int ed = i ;
        while(edge[ed].w == edge[i].w) ed ++ ;

        for(int j = i ; j < ed ; ++ j)
        {
            int fx = Find(edge[j].u), fy = Find(edge[j].v) ;
            if(fx != fy) cnt ++ ;
        }
        for(int j = i ; j < ed ; ++ j)
        {
            int fx = Find(edge[j].u), fy = Find(edge[j].v) ;
            if(fx != fy) fa[fx] = fy, cnt -- ;
        }
        tot += cnt ;
        i = ed ;
    }
    printf("%d
",tot) ;
    return 0;
}

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