向量叉积

Posted 2020-11-15 vimin

向量叉积

定义

[vec a imesvec b=|vec a||vec b|sin heta]

证明

• 证明：在如图所示的平行四边形0ACB中 [S_{Delta AOC}=frac{1}{2}|vec {a}||vec b|sin heta]
• 则平行四边形的面积是 [S=|vec{a}| |vec b|sin heta]
  [vec a cdot vec b=|vec a| |vec b| cos heta]
  [cos heta=frac{vec a cdot vec b}{|vec a| |vec b|}]

[ egin{eqnarray} sin heta &= & sqrt{1-cos^2 heta} &=&frac{sqrt{(|vec a|^2cdot|vec b|)^2-(vec{a}cdot{vec{b})^2}}}{|vec a||vec b|} \end{eqnarray} ]

egin{eqnarray}
S &=& sqrt{(|vec a|^2cdot|vec b|)^2-(vec{a}cdot{vec{b})^2}}
&=& sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)-(x_1x_2+y_1y_2)^2}
&=& sqrt{(x_1y_2)^2+(x_2y_1)^2-2x_1x_2y_1y_2}
&=& sqrt{(x_1y_2-x_2y_1)^2}
&=& |x_1y_2-x_2y_1|
end{eqnarray}