CSP-S 模拟61

Posted 2020-11-15 heoitys

 又炸了

 

T1 砖块

模拟

T2 数字

感谢rvalue学长的详细题解

 

 　　问题是要从低位第一个非0位开始输出，所以就是$n! $除去所有的因子10（去掉后缀的0），即 $Ext(10,n!)$

　　而输出的数在k==1时是 $Ext(10,n!)\\%10$,k==2时是$Ext(10,n!)\\%100$, k==3时……

　　以10为例

　　而$ %10$可以先求出$ \\%2 $和$ %5$的答案，在用CRT求最终的答案

　　$Ext(10,n!) \\%2 $ 稍稍特判一下（一般都为0，但是小范围可能不是，所以小范围可以跑暴力）

　　$Ext(10,n!)\\%5 $则需要把式子变一下

　　　　　　　　　$$egin{array}{rl}Ext(10,n!)&= frac{n!}{10^{FP(10,n!)}}&= frac{n!}{2^{FP(10,n!)}5^{FP(10,n!))}}&= frac{n!}{2^{FP(5,n!)}5^{FP(5,n!)}}&=frac{Ext(5,n!))}{2^{FP(5,n!)}}end{array}$$

　　$FP(5,n!) $可以在$log_5^n $时间求出，那么$ 2^{FP(5,n!)} $的逆元就有了，只剩下$Ext(5,n!)$

　　$ Ext(k,n) $ 有性质 $Ext(ab,n)=Ext(a,n)*Ext(b,n) (a,b为质数)$

　　所以$$ egin{array}{rl} Ext(5,n!)&= prodlimits_{k=1}^{n} Ext(5,k) \\&=prodlimits_{kin[1,n],5|k} Ext(5,k) imes prodlimits_{kin[1,n],5 mid k}Ext(5,k)\\&=Ext(5,(frac{n}{5})!) imes prodlimits_{kin[1,n],5 mid k}Ext(5,k)\\&=Ext(5,(frac{n}{5})!) imes prodlimits_{kin[1,n],5 mid k} kend{array} $$

　　而

 

　　 所以$$Ext(5,n!)= Ext(5,(frac{n}{5})!) imes (prod limits_{kin[1,5],5 mid k} k)^{lfloor frac{n}{5} floor} imes prod limits_{kin[1,n\\%5],5 mid k} k (mod 5) $$

　　 最终求出来 $Ext(5,n!)$ 乘上前面求的 $ 2^{FP(5,n!)} $的逆元 于是求出了$Ext(10,n!)\\%5 $

　　和$Ext(10,n!)\\%2 $ 跑CRT（大神都不用真的CRT）得出 $Ext(10,n!)\\%10$的解

　　k==2和k==3同理

　　再以k==3 为例

　　$$Ext(5,n!)= Ext(5,(frac{n}{5})!) imes (prod limits_{kin[1,125],5 mid k} k)^{lfloor frac{n}{125} floor} imes prod limits_{kin[1,n\\%125],5 mid k} k (mod 125) $$

　　最后一波福利（代码）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int T,k,a[110],FP[110],b[110],fac[150];
long long ans[11000];
int c[5],p[5],phi;
inline void read(){
    register char r;
    while(r=getchar(),r<‘0‘||r>‘9‘);
    a[0]=0;
    a[++a[0]]=r^48;
    while(r=getchar(),r>=‘0‘&&r<=‘9‘) a[++a[0]]=r^48;
}
long long qpow(long long a,long long b,long long mod){
    long long ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return ans;
}
int div(int a[],int b){
    int tmp=0;
    for(register int i=a[0];i;i--){
        tmp=tmp*10+a[i];
        a[i]=tmp/b,tmp%=b;
    }
    while(a[a[0]]==0&&a[0]>=1) a[0]--;
    return tmp;
}
void jia(int a[],int b[]){
    int tmp=0;
    for(register int i=1;i<=max(a[0],b[0]);i++){
        tmp=a[i]+b[i]+tmp;
        b[i]=tmp%10;
        tmp/=10;
    }
    b[0]=max(a[0],b[0]);
    while(tmp) b[++b[0]]=tmp%10,tmp/=10;
}
int MOD(int a[],int mod){
    return div(a,mod);
}
int work_FP(){
    memset(FP,0,sizeof(FP));
    memcpy(b,a,sizeof(b));
    while(b[0]){
        div(b,5);
        jia(b,FP);
    }
    return MOD(FP,phi);
}
void work_to_2(){
    if(k==1) p[1]=2,p[2]=5,phi=4;
    else if(k==2) p[1]=4,p[2]=25,phi=20;
    else if(k==3) p[1]=8,p[2]=125,phi=100;
    if(a[0]>1) c[1]=0;
    else{
        c[1]=1;
        for(register int i=1;i<=a[1];i++) c[1]=c[1]*i%p[1];
    }
}
void work_to_5(){
    int w=work_FP()+phi;
    w=qpow(qpow(2,w,p[2]),phi-1,p[2]);
    fac[0]=1;
    for(register int i=1;i<=p[2];i++){
        fac[i]=fac[i-1];
        if(i%5!=0) fac[i]=fac[i]*i%p[2];
    }
    
    c[2]=1;
    while(a[0]){
        memcpy(b,a,sizeof(b));
        memset(FP,0,sizeof(FP));
        div(a,5);
        c[2]=c[2]*fac[div(b,p[2])]%p[2];
        jia(b,FP);
        c[2]=c[2]*qpow(fac[p[2]],MOD(FP,phi),p[2])%p[2];
    }
    c[2]=c[2]*w%p[2];
}
void work(){
    for(register int i=a[0];i>=1;i--) b[++b[0]]=a[i];
    memcpy(a,b,sizeof(a));
    work_to_2();
    work_to_5();
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=y;
    y=x-a/b*y;
    x=t;
    return;
}
int CRT(){
    int sum=p[1]*p[2];
    int ans=0;
    for(register int i=1;i<=2;i++){
        int a=sum/p[i],x,y;
        exgcd(a,p[i],x,y);
        ans=(ans+a*x*c[i]%sum)%sum;
    }
    return (ans%sum+sum)%sum;
}
void out(int x){
    if(k==1) printf("%d
",x%10);
    if(k==2) printf("%d%d
",(x/10)%10,x%10);
    if(k==3) printf("%d%d%d
",(x/100)%10,(x/10)%10,x%10);
}
int main(){
    //freopen("3.out","w",stdout);
    scanf("%d",&T);
    ans[0]=1;
    for(register int i=1;i<=10000;i++){
        ans[i]=ans[i-1]*i;
        while(ans[i]%10==0) ans[i]/=10;
        ans[i]%=((int)1e8);
    }
    while(T--){
        read();
        scanf("%d",&k);
        if(a[0]<=4){
            int n=0;
            for(register int i=1;i<=a[0];i++) n=n*10+a[i];
            out(ans[n]); 
        }
        else{
            work();
            out(CRT());
        }
    }
}

View Code

 

T3 甜圈

　　要求完成的任务必须按顺序而且只能做一次，用hash表示状态

　　将甜圈编号作为线段树下标，经典的线段树操作就可以了