JLOI2015骗我呢

Posted 2020-11-15 shxnb666

题意简述：

求原点到点$P(n+m+1,n)$，并且不能经过（或跨越）直线$A:y=x+1$和$B:y=x-(m+2)$的路径条数。

题解：

这道题应该可以算是格路计算问题的巅峰了吧。

首先，我们把$P$点沿$A$进行翻折，记为$P‘$，从原点到$P‘$的路径条数就是“从原点到$P$，一定经过（或跨越）直线$A$的路径条数”

注意我们不知道是什么时候经过的，也不知道前后还有没有别的经过事件，因为我们只考虑了直线$A$。

我们把$P‘$沿$B$翻折，记为$P‘‘$，考虑从原点到$P‘‘$的路径条数是什么意思：

由上面一个问题，我们很自然的猜想，“是不是从原点到$P$，一定经过（或跨越）直线$A$和$B$的路径条数呢？”

但是我们很快可以发现这个猜想是错误的，因为如果是这样的话，由对称性可知，先沿$A$折，再沿$B$折，和先沿$B$折，再沿$A$折，算出来的东西是一样的。

进一步的，即$A$和$B$关于直线$y=x$对称，

但其实，并没有保证这个条件。

那我们继续很自然的猜想，“是不是从原点到$P$，先经过$B$再经过$A$的路径条数呢”（注意这里我可能没有讲清楚，是保证有两次经过，并且有先$A$再$B$），

发现就是这样，因为我们可以把第一次经过$B$的部分沿$B$翻折，从第一个交点处到$P‘$，一定要跨越$A$，所以是先$B$后$A$。

我们发现还是可以反复经过$B$，再经过$A$的。那么我们就把多次连续的经过一条直线记做一个事件，即把经过直线状态的改变看做一个事件。

那所有的不合法方案就是形如$A$，$B$，$AB$，$BA$，$ABA...$，共同点是$AB$交替出现，不知道先$A$还是先$B$，也不知道什么时候结束。

我们可以看成有一个文本检索器，每次可以搜一个子序列，查找文本中出现了此子序列的子段个数（更严谨的，查找文本中出现了此子序列的子段加权的个数和），怎么容斥的把所有不合法方案算出来。

先减去$A$开头的，再减去$B$开头的就可以了。

如何算$A$开头的？我们先沿$A$翻折，查$A$，算出来是多的，因为还有$B$开头且含$A$的，再把这一部分减去，即沿$B$翻折，查$BA$，减去$BA$的，但是会有多减的，因为还有$ABA$开头的，就再加上，发现加多了，因为还有开头$BABA$的......下一次的永远比上一次少，也就是它肯定会少到$0$，就在那里停止就可以了。

算$B$开头的同理。