题解——Acwing.340 通信线路

Posted 2021-03-15 ninedream

问题抽象：

　　给定一张无向图，求出一条1~n的路径，使得路径中第k+1大的边权最小化。

算法描述：

　　二分答案。
　　对于二分的值mid，定义在所有1~n的路径中，满足权值大于mid的边的数量小于等于k者为合法路径。
　　当mid越大时，权值大于mid的边的数量必然非严格单调递减，故而合法路径的数量必然也非严格单调递减。
　　故而该问题满足如上单调性，二分答案的可行性成立。
　　因此，可将问题转化为判定：
　　对于给定的mid，是否存在一条路径，使该路径上的权值大于mid的边的数量小于等于k。
　　这个问题就非常好做了。只需把权值大于mid的边的权值视为1，其余边权值视为0，然后求解01最短路即可，复杂度是线性的。
　　最终整个算法的时间复杂度为O((N+M)logMAX_L)

参考代码：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <cstring>
 4 #include <queue>
 5 using namespace std;
 6 const int N=1e3+10,M=1e4+10;
 7 struct Edge{
 8     int to,ne,w;
 9 }edge[M<<1]; int idx;
10 int n,m,k;
11 int h[N];
12 int dis[N],vis[N];
13 
14 void add_edge(int u,int v,int w){edge[++idx]={v,h[u],w};h[u]=idx;}
15 
16 bool check(int mid)
17 {
18     memset(dis,0x3f,sizeof dis);
19     memset(vis,0,sizeof vis);
20     deque<int> q;
21     
22     dis[1]=0;
23     q.push_front(1);
24     
25     while(!q.empty())
26     {
27         int p=q.front();
28         q.pop_front();
29         
30         if(vis[p])continue;
31         vis[p]=1;
32         
33         for(int i=h[p];~i;i=edge[i].ne)
34         {
35             int to=edge[i].to,w=edge[i].w>mid;
36             if(dis[to]>dis[p]+w)
37             {
38                 dis[to]=dis[p]+w;
39                 if(w)q.push_back(to);
40                 else q.push_front(to);
41             }
42         }
43     }
44     
45     return dis[n]<=k;
46 }
47 
48 int main()
49 {
50     memset(h,-1,sizeof h);
51     scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
52     
53     for(int i=1;i<=m;i++)
54     {
55         int u,v,w;
56         scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
57         add_edge(u,v,w);
58         add_edge(v,u,w);
59     }
60     
61     int l=0,r=1e6+1;
62     while(l<r)
63     {
64         int mid=(l+r)>>1;
65         if(check(mid))r=mid;
66         else l=mid+1;
67     }
68     
69     if(r==1e6+1)puts("-1");
70     else printf("%d
",r);
71     
72     return 0;
73 }