矩阵简述

Posted 2020-11-15 guoyangfan

矩阵加法：C~ij~ = A~ij~ + B~ij~ 。

矩阵数乘：

? 将该数与每一个元素相乘。

矩阵乘法：

? 设A大小为n * m，B大小为m * p。则A和B的乘积得到的矩阵大小为n * p。

? 其中每一项 (AB)~ij~ = [sum_{k=1}^m] A~ik~B~kj~ 。

? 矩阵乘法不满足交换律

? 矩阵乘法满足结合律和分配律

单位矩阵：

? A~ii~ = 1，即左上到右下的对角线都为1，此时任何矩阵乘以单位举证就是它本身。

矩阵快速幂：

? 快速求矩阵A的N次方。

? 由于矩阵符合乘法分配律，所以与正常快速幂同理，A^n^ = A^n/2^ * A^n/2^，

? (PS)：正常快速幂中的累乘器的初始值为单位矩阵，A^1^为所给矩阵。

? Luogu P3390，矩阵快速幂模板

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
#define mod 1000000007
#define maxn 105

int n;

struct mat{
    ll a[maxn][maxn];
    mat (){memset(a,0,sizeof(a));}
    inline void build(){for(int i = 1;i<=n;++i)a[i][i] = 1;}
}a;

mat operator * (const mat &x,const mat &y){
    mat z;
    for(int k = 1;k<=n;++k)
        for(int i = 1;i<=n;++i)
            for(int j = 1;j<=n;++j)
                z.a[i][j] = (z.a[i][j] + x.a[i][k]*y.a[k][j]%mod)%mod;
    return z;
}

ll k;

inline void init(){
    cin>>n>>k;
    for(int i = 1;i<=n;++i)
        for(int j = 1;j<=n;++j)
        cin>>a.a[i][j];
}

int main(){
    init();
    mat ans;
    ans.build();
    do{
        if(k&1)ans = ans*a;
        a = a*a;
        k >>= 1;
    }
    while(k);
    for(int i = 1;i<=n;putchar('
'),++i)
        for(int j = 1;j<=n;++j)
          cout<<ans.a[i][j]<<" ";
    return 0;
}

矩阵加速数列：

? 我来讲一下学习心得吧。

? $ e.g$ $，a[x] = a[x-1] + a[x-3] (x > 3)，a[1] = a[2] = a[3] = 1 $ ，用矩阵加速递推

? (： PS：) 注意看清普通矩阵递推和普通递推。

? 首先，普通矩阵递推和普通递推是等效的，而因为矩阵可以快速幂进行加速，所以构造矩阵用矩阵快速幂加速普通矩阵递推。

? 对于这一题，我们发现对下次或今后递推有用的变量按顺序构成的矩阵是这样的：

? 以下矩阵中a[]表示的是一个值。

? [ left[egin{matrix}a[x-1]\a[x-2]\a[x-3]end{matrix} ight]]那么我们普通矩阵递推，求的就是a[x]。根据题目,(a[x] = a[x-1]+a[x-3])。

? 所以我们递推下去就得到了 [ left[egin{matrix}a[x-1]+a[x-3] = a[x]\a[x-1]\a[x-2]\a[x-3]end{matrix} ight]]，显然我们要求a[x]。

? 但是a[x-3]对今后的递推已经无用了！我们就把它删掉，就有了[ left[egin{matrix}a[x]\a[x-1]\a[x-2]end{matrix} ight]]。

? 那么我们就需要构造另外一个矩阵A，使得[ A * left[egin{matrix}a[x-1]\a[x-2]\a[x-3]end{matrix} ight] = left[egin{matrix}a[x]\a[x-1]\a[x-2]end{matrix} ight]]。

? 因为(a[x] = a[x-1] * 1+a[x-3] * 1)，所以得到A矩阵第一行为1,0,1（根据矩阵乘法）

? 因为我们当前已经把a[x-1]和a[x-2]算出来了！所以A矩阵的第二行为1,0,0，第三行为0,1,0。

? 所以有[ A = left[egin{matrix}1&0&1\1&0&0\0&1&0end{matrix} ight] ]

? (：PS：)随着题目的变化，这个系数可以不为1或0.

?

? 所以,由于每一个矩阵乘以A都能得到下一个矩阵，那么我们将初始矩阵(a[1] = a[2] = a[3] = 1)乘以A的N-3次方就能得到第N+1个矩阵（根据矩阵乘法结合律，我们可以先快速幂算A^N-3^）。

? 注意，这里的初始矩阵a[1] = a[2] = a[3] = 1,乘任何矩阵等于它本身，所以可以忽略。

? 为什么是N-3次方？因为a[1],a[2],a[3]已经给出a[1],a[2],a[3]已经给出，相当于初始矩阵是第三个矩阵，准备求第四个矩阵，而第四个矩阵的第一项是a[N+1]，所以我们只要输出第四个矩阵的第二行第一个。（根据我们对A的定义，此时A[ 2 ] [ 1 ]表示a[x-1]*1）

? Luogu P1939，矩阵加速数列模板

?

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mod = 1e9+7;
#define ll long long

int T,n;

struct mat{
    ll m[5][5];
}ans,t;

void init(){
    memset(ans.m,0,sizeof(ans.m));
    for(int i = 1;i<=3;++i)ans.m[i][i] = 1;
    memset(t.m,0,sizeof(t.m));
    t.m[1][1] = t.m[1][3] = t.m[2][1] = t.m[3][2] = 1;
}

mat mul(mat a,mat b){
    mat res;
    memset(res.m,0,sizeof(res.m));
    for(int i = 1;i<=3;++i)
        for(int j = 1;j<=3;++j)
            for(int k = 1;k<=3;++k)
                res.m[i][j] += (a.m[i][k]%mod)*(b.m[k][j]%mod),
                res.m[i][j] %= mod;
    return res;
}

void qmpow(int p){
    while(p){
        if(p&1)ans = mul(ans,t);
        p>>=1;
        t = mul(t,t);
    }
}

int main(){
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n;
        if(n <= 3)cout<<1<<endl;
        else{
            init();
            qmpow(n);
            cout<<ans.m[2][1]<<endl;
        }       
    }
}

?

?

? 总结：分析题目，构造初始有效矩阵，推出接下来的矩阵，再根据矩阵乘法构造A矩阵，对A矩阵进行快速幂，求得目标矩阵。

矩阵求逆

? CSP不考？咕咕