题解-luogu P3810三维偏序（陌上花开）

Posted 2021-03-15 zikual

( m三维偏序)

( m一、定义：序列上每个点有三个权值~(x,y,z)~，求有多少个点对~(a,b)~同时满足~a_x le b_x~,~a_y le b_y~,~a_z le b_z~)

( m二、解法：~cdq~分治)
( mqquad首先，我们思考一下二维偏序的解法) ( mqquadqquad我们先对整个序列按照~x~排一遍序，那么我们就已经解决了一个维度) ( mqquadqquad即目前序列中所有后面的点的~x~值一定比前面的点小)
( mqquadqquad那么我们只需要考虑目前这个排序完的序列中有多少个顺序对)（瞎jb造的词） ( mqquadqquad具体而言，可以通过树状数组解决（归并排序也可，这里不赘述）) ( mqquadqquad对于第二权值值域开一颗树状数组，从左到右扫到~i~，查询已出现的数中比~a_i~小的数) ( mqquadqquad即树状数组上目前已有的~a_i~前的数的个数)

( mqquad进入正题)
( mqquadqquad首先我们依旧可以通过排序降一个维，然后考虑分治) ( mqquadqquad对于区间~(l,r)~，我们只考虑跨~Mid~的贡献，区间内的分治到下面解决) ( mqquadqquad由于序列本来就是已经按照第一权值排过序的) ( mqquadqquad所以无论我们怎么搞事情，原本属于左半边的点的第一权值一定le右半边的点)(这不是废话吗) ( mqquadqquad所以我们干脆可以直接再排一遍序来再降一维) ( mqquadqquad但是要注意只能考虑原本左半边的点与原本右半边的点的贡献) ( mqquadqquad所以我们可以通过记录原左边的点和原右边的点)
( mqquadqquad对于原左边的点，即时丢到树状数组里) ( mqquadqquad而对于原右边的点，我们就可以直接查询，就像二维偏序的做法一样)

    bool cmp2(node a,node b){
        if(a.y!=b.y)return a.y<b.y;
        if(a.z!=b.z)return a.z<b.z;
        return a.x<b.x;
    }
    void solve(int l,int r){
        if(l==r)return;
        solve(l,Mid),solve(Mid+1,r);
        sort(a+l,a+r+1,cmp2);
        for(int i=l;i<=r;i++){
            if(a[i].x<=mid)add(a[i].z,1);
            else ANS[a[i].id]+=query(a[i].z);
        }
        for(int i=l;i<=r;i++)
            if(a[i].x<=mid)add(a[i].z,-1);
    }

( mqquad PS:如果愿意也可以手写一个归并排序然后即时操作，常数优一些)

( mqquad另外要注意的是要去重，还有清空树状数组不能用~memset~（会超时）)
( m总代码如下：)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define Mid ((l+r)>>1)
#define int ll
const int maxn=300005,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
int n,m,Q,K,T;
int read(){
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
struct node{
    int x,y,z,id;//存储每个点的个权值
    bool operator <(const node &a)const{//按第一权值排序
        if(x!=a.x)return x<a.x;
        if(y!=a.y)return y<a.y;
        return z<a.z;
    }
}a[maxn],t[maxn];vector<int>q;//存储被修改的权值，实现更高效率的树状数组清空
int ANS[maxn],sum[maxn],f[maxn],fle[maxn];
int lowbit(int x){return x&-x;}
void add(int x,int k){//树状数组修改
    if(k>0)q.push_back(x);
    for(int i=x;i<=K;i+=lowbit(i)){//注意这里是K
        sum[i]+=k;
    }return;
}
int query(int x){//树状数组查询
    int ans=0;
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i)){
        ans+=sum[i];
    }return ans;
}
void solve(int l,int r){//分治
    if(l==r)return;
    solve(l,Mid),solve(Mid+1,r);
    int i=l,j=Mid+1,now=l;
    while(i<=Mid&&j<=r){//手写归并排序
        //各种分类讨论，可能是我写复杂了，要是您不屑的话也可以去看上文的简单写法
        if(a[i].y<a[j].y){add(a[i].z,1);t[now++]=a[i++];}
        else if(a[i].y>a[j].y){ANS[a[j].id]+=query(a[j].z);t[now++]=a[j++];}
        else{//注意无论如何每次只进一个元素，即不会有在一次循环中两个元素同时进入t数组的情况，否则会出错
            if(a[i].z<a[j].z)add(a[i].z,1),t[now++]=a[i++];
            else if(a[i].z>a[j].z)ANS[a[j].id]+=query(a[j].z),t[now++]=a[j++];
            else{
                if(a[i].x<a[j].x)add(a[i].z,1),t[now++]=a[i++];
                else ANS[a[j].id]+=query(a[j].z),t[now++]=a[j++];
            }
        }
    }
    while(i<=Mid)t[now++]=a[i++];
    while(j<=r)ANS[a[j].id]+=query(a[j].z),t[now++]=a[j++];
    for(int i=l;i<=r;++i)a[i]=t[i];
    for(int i=0;i<q.size();++i)add(q[i],-1);q.clear();//vector存储被修改的位置，实现更高效率的树状数组清空
    return;
}
signed main(){
    //freopen("a.in","r",stdin);
    //freopen("a.out","w",stdout);
    n=read();K=read();
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int x=read(),y=read(),z=read();
        a[i].x=x,a[i].y=y,a[i].z=z;a[i].id=i;
    }sort(a+1,a+1+n);
    for(int i=1;i<=n;){//去重
        int j=i+1;
        while(j<=n&&a[j].x==a[i].x&&a[j].y==a[i].y&&a[j].z==a[i].z)j++;
        while(i<j)fle[a[i].id]=a[j-1].id,i++;
    }for(int i=1;i<=n;++i)a[i].x=i;
    solve(1,n);
    for(int i=1;i<=n;++i)f[ANS[fle[a[i].id]]]++;
    for(int i=0;i<n;++i)printf("%lld
",f[i]);

    return 0;
}