状态压缩—骑士

Posted 2021-03-15 flyljz

题面：

在 n×nn×n 的棋盘上放 kk 个国王，国王可攻击相邻的 88 个格子，求使它们无法互相攻击的方案总数。

输入格式

共一行，包含两个整数 nn 和 kk。

输出格式

共一行，表示方案总数，若不能够放置则输出00。

数据范围

1≤n≤101≤n≤10,
0≤k≤n20≤k≤n2

输入样例：

3 2

输出样例：

16
题解：
该题是在”蒙德里安的梦想“上基础上的一个扩展。
一个骑士四面八方均不能有骑士，设a表示第i-1行状态的二进制数，b表示第i行状态的二进制数。
那么满足这两个条件的条件有：
1.同列不能同时为1，即a&b==0;
2.两列不能有相邻的1，即i|j不存在相邻的1；
f[i][j][s],表示已经排好第i行，摆放了j个国王且第j行状态为s的所有方案数；
则可以先预处理可以转移到s的所有状态，设c为s中1的个数，那么状态转移可以表示为f[i][j][s]+=f[i-1][j-c][a];

#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=12,k=110,M=1<<11;
vector<int>state;//存储有不相邻的1的二进制数
vector<int>head[M];//存每个二进制数（合法状态）能由哪些状态转移过去在state中的序号
int cnt[M];//存每个二进制数中1的个数
int n,m;
ll f[N][k][M];
bool check(int state)//判断某一状态是否有相邻的的1
{
    for(int i=0;i<n;i++)
     if((state>>i&1)&&(state>>i+1&1))
       return false;
     return true;
}
int count(int state)//返回某一状态1的个数
{
    int res=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
     res+=state>>i&1;
     return res;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i< 1<<n;i++)
    {
        if(check(i))
        {
            state.push_back(i);
            cnt[i]=count(i);
        }
    }
    for(int i=0;i<state.size();i++)
      for(int j=0;j<state.size();j++)
      {
          int a=state[i],b=state[j];
          if((a&b)==0&&check(a|b))
           head[i].push_back(j);
      }
      f[0][0][0]=1;
      for(int i=1;i<=n+1;i++)
       for(int j=0;j<=m;j++)
        for(int a=0;a<state.size();a++)
         for(auto b:head[a])
         {
             int c=cnt[state[b]];
             if(j>=c)
             f[i][j][a]+=f[i-1][j-c][b];
         }
         cout<<f[n+1][m][0]<<endl;
    return 0;
}