浅谈树上差分

Posted 2020-11-15 darkvalkyrie

浅谈树上差分

【引子】

我们遇到一些关于树的问题时，往往需要我们统计一些树上的信息，比如子树和，路径边覆盖、点覆盖（目前没见过别的类型）。暴力的解法当然是遍历逐个点对其权值进行修改。

类比序列问题，其在进行区间修改时，可以用差分将(O(n))复杂度降为(O(1))。在树上我们是对一条链进行处理，那差分在树上可不可用呢？答案是肯定的。

【从序列到树】

在一个序列上进行差分的操作，相信各位都十分熟悉：假设当前我们要对一个序列的(lsim r)区间的每个数执行(+k)操作，那么对于差分数组，我们在(l)位置(+k)，表示从(l)开始有一个(+k)的影响，在(r+1)位置(-k)，表示在(r+1)这个位置影响被消除。这个影响是从序列首端传递到序列尾端的。

首先我们要明白，对于一条树上的链，假设其起点为(s)，终点为(t)，其一定可以分为两部分：(ssim lca(s,t),lca(s,t)sim t)。或者说，对于任意一棵树，对于点对((s,t))，它所表示的路径是唯一的。

感性的理解一下，由于树上的任意点只存在一个父节点，那么如果这个点不断向父节点移动，路径就是唯一的。那么对于一个点对，这两个点不断向上移动，减少深度的时候，就一定会相遇，我们叫这个相遇的点“最近公共祖先”，也就是LCA。

【树上差分】

那么如果我们将差分技巧拓展到树上会如何呢？差分的核心思想是某种影响的产生与消除。显然，对于一条树链，它的影响产生于(s)，消除于(t)。但是，一棵树上有那么多条链，如果这样进行差分的话，最后如何统计整棵树的点的权值呢？

既然单独对一条条链进行差分无法达到要求，那我们不妨把整棵树作为一个差分的对象。上文提到，任意点的父节点只有一个，也就是说任意点到根节点的路径也是唯一的。如果我们把根节点那边类比做序列尾端，把叶子节点那边类比做序列首端，那这样的话，这个影响不就能自底向上传递了吗？

具体地说，如果我们有差分数组(c[])，对于任意一棵树，假设我们要对(ssim t)这条路径上的所有点执行(+1)操作，那么我们就在(c[s]+1)，在(c[t]+1)，在(c[lca(s,t)]-1)，在(c[father(lca(s,t))]-1)。然后我们自底向上传递信息，意即对于节点(x)，假设它的子节点集合为(son)，子树和为(ans[x])，那么有(ans[x]=c[x]+sum c[i],iin son)。这个信息是从叶子节点逐层向上传递的。

对于任意多个点对((s,t))的询问，我们重复上述差分操作，最后进行自底向上的统计即可。

讨论完了点覆盖的情形，我们来考虑边覆盖。点覆盖与边覆盖唯一的区别就在于当前子树的根节点是否计算在内。显然，点覆盖的情况是包含根节点的，而边覆盖是不包含的。因此，我们只需稍稍修改差分操作：在(c[s]+1)，在(c[t]+1)，在(c[lca(s,t)]-2)。最后进行统计即可。

几道例题

P3128

一道裸题，适合入门树上差分，非常简单。

P2608

一道结合了一点点别的东西的树上差分裸题，需要一点思维量，还算比较简单。

P4556

涉及到线段树合并，建议去学，正常难度的题目。当然如果你会树剖就当我没说。

P1600

啊我死了。

【扯点淡】

最近真是越来越常考树论了。。。特别是树上差分老是考，我的建议是学树剖或者LCT，便于成为调参带湿。其实会树上差分也差不多够用了，多学点也没负面影响。主要是倍增LCA常数感人，好在NOIpCSP似乎并不会卡。