原根与指标的性质

Posted 2021-03-15 ldysy2012

阶

设$a,m in Z^{+}$,$m>1$,$(a,m)=1$.

则满足$a^x equiv 1 pmod{m}$的最小正整数$x$称为$a$对$m$的阶，记作$ord_ma$。

阶的性质

性质一：$a^n equiv 1 pmod{m}$的充要条件为$ord_ma|n$

　　证明：设$n=p*ord_ma+q$,其中$0leq q<ord_ma$.

　　　　   则$a^n equiv a^{p*ord_ma+q}equiv a^q equiv 1 pmod{m}$

　　　　   根据定义$ord_ma$是最小的，所以$r=0$.

推论一：$ord_ma| phi(m)$

　　PS:当$ord_ma=phi(m)$时称$a$为模$m$意义下的原根.

性质二：若$a equiv bpmod{m}$,$(a,m)=1$，则$ord_ma=ord_mb$

性质三：设$(a,m)=1$,那么$a^n equiv a^p pmod{m}$的充要条件为$n equiv p pmod{ord_ma}$

　　证明：不妨设$n leq p$,则$a^{p-n} equiv 1 pmod{m}$

　　　　   根据性质一，$ord_ma|p-n$,所以$n equiv p pmod{ord_ma}$

性质四：令$n=ord_ma$,则$a^0,a^1,a^2…a^{n-1}$模$m$的值互不相等。

　　证明：考虑反证

　　　　   若$exists i,j in [0,n)$且$j<i$,使得$a^i equiv a^j pmod m$

　　　　   由于$(a,m)=1$,则$a^{i-j} equiv 1 pmod m$

　　　　   则有$i-j<n=ord_ma$,矛盾！

性质五：设$ab equiv 1 pmod m$,则$ord_ma=ord_mb$

　　证明：