493. Reverse Pairs

Posted 2021-03-15 elaron

Given an array nums, we call (i, j) an important reverse pair if i < j and nums[i] > 2*nums[j].

You need to return the number of important reverse pairs in the given array.

Example1:

Input: [1,3,2,3,1]
Output: 2

 

Example2:

Input: [2,4,3,5,1]
Output: 3

 

Note:

1. The length of the given array will not exceed 50,000.
2. All the numbers in the input array are in the range of 32-bit integer.

拿到题目后，最直观的解法就是遍历尝试所有的(i, j)组合，看看有多少种组合满足 i < j and nums[i] > 2*nums[j]这一条件。

那么，写成代码就是一个嵌套的for循环：

for i:= 0; i < len(nums); i++ {
    for j := i; j < len(nums); j++ {
    }  
}

可以想见，这样解法的时间复杂度为O(n²)，空间复杂度为O(1)。

 

那么，有么有什么办法，可以把时间复杂度降低一些呢?

O(n*n)中，至少有个一个n是无法优化的，因为至少需要遍历每个元素一次，那么第二个n能否降低为＜n的值呢？

想象一下，当我们从第0个元素往右遍历的时候，随着index的增加，我们能知道哪些信息？（想象一个卷轴打开的样子，未打开的部分是未知的，已打开的部分就能看的内容）

 

对于这类顺序展开的情况，我们可以将其抽象成 f(i,j) = f(i, j-1) + c的情况。其中，可以假定f(i, j-1) 已知，我们通过解决c来完成f(i, j)的求解。

那么，在这道题目中，f(i, j-1)是什么，它给我们提供了哪些信息量呢？知道f(i, j-1)后，我们需要做什么才能得到f(i, j)呢？

 

我们假设 f(i, j) 代表start为i，end为j的范围内，满足nums[i] > 2*nums[j] 这一条件的pair数。

那么，当知道了 f(i, j-1) 后，我们怎么才能得到 f(i, j) 呢？

f(i, j) 相较于 f(i, j-1) 相当于end的index向后移动了一位。我们需要知道从 i 到 j-1 范围内，一共有多少个点满足 nums[i] > 2*nums[j] ，我们想求的是个count计数。 

以题目的第二个例子举例：

[2,4,3,5,1]

当访问到第四个元素时(下标为3)：

2

4

3

5

我们想要知道在第四个元素前面有没有谁是它的2倍以上，并且如果有的话，共有多少个这样的数？

最简单的方法，就是数一下，从[0,j-1]遍历看看有多少个num大于nums[3]*2，写成伪代码为：

result := 0

for j := 0; j < len(nums); j++ {
   count := 0  
   for i := 0; i < j; i++ {
        if nums[i] > 2*nums[j] {
             count += 1  
        }      
   }
   result += count
}

但如果这样找的话，每次都需要从头遍历到j位，因此时间复杂度并没有下降，还是O(n²)。那么，有没有什么办法能让我们知道第j位之前，有多少个元素大于2*nums[j]吗？

假如我们把前面 [0, j-1] 个元素排一下序，然后再找找 j-1 位之前，是否出现过大于

 

 

Reference:

https://leetcode.com/problems/reverse-pairs/discuss/97268/General-principles-behind-problems-similar-to-%22Reverse-Pairs%22