勾股数

Posted 2021-03-15 wanghai0666

前言

勾股数又名毕氏三元数 。凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。勾股定理：直角三角形两条直角边(a)、(b)的平方和等于斜边(c)的平方(a^2+b^2=c^2).
部分来源于知乎。

常用勾股数

高中阶段常用的勾股数([3n，4n，5n(nin N^*)])；([5，12，13])；([7，24，25])；([8，15，17])；([9，40，41])；

构造方法

勾股数(x)，(y)，(z)的构造方法如下，其中(a，b，kin N^*)，(x=k(a^2-b^2))，(y=2kab)，(z=k(a^2+b^2))；

[原理解释]：

(x^2+y^2=k^2(a^2-b^2)^2+4k^2a^2b^2=k^2(a^4-2a^2b^2+4a^2b^2+b^4))

(=k^2(a^2+b^2)^2=[k(a^2+b^2)]^2=z^2)

使用举例

如令(a=2)，(b=1)，则勾股数为(x=3k)，(y=4k)，(z=5k)；

如令(a=3)，(b=2)，则勾股数为(x=5k)，(y=12k)，(z=13k)；

典例剖析

例4【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅰ第14题】我国古代数学名著《周髀算经》记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为(a^2+b^2=c^2)，((a，b，cin N^*))，我们把(a，b，c)成为勾股数，下面给出几组勾股数：(3，4，5)；(5，12，13)；(7，24，25)；(9，40，41)；(cdots)，以此类推，可猜测第五组勾股数为__________ 。

分析：
[egin{array}{ccc} 3&4&52 imes1+1&2 imes1 imes(1+1)&2 imes1 imes(1+1)+15&12&132 imes2+1&2 imes2 imes(2+1)&2 imes2 imes(2+1)+17&24&252 imes3+1&2 imes3 imes(3+1)&2 imes3 imes(3+1)+19&40&412 imes4+1&2 imes4 imes(4+1)&2 imes4 imes(4+1)+111&60&612 imes5+1&2 imes5 imes(5+1)&2 imes5 imes(5+1)+113&84&852 imes6+1&2 imes6 imes(6+1)&2 imes6 imes(6+1)+115&112&1132 imes7+1&2 imes7 imes(7+1)&2 imes7 imes(7+1)+1\end{array}]

故第五组勾股数为(11，60，61)；

推广得到第(n)组勾股数的组成规律：

(a=2 imes n+1)，(b=2 imes(n+1)+1)，(c=2 imes n imes (n+1)+1)，