[CF1292D]Chaotic V.

Posted 2021-03-14 gosick

昨晚#614div2的F题。我现在看感觉比E题还简单啊，为什么当时要去死刚E题呢。。。

题目大意：有一棵树，根节点编号为(1)，设一个节点的编号(x(x>1))，则它的父节点编号为(x/f(x))，边权为1，其中(f(x))为(x)的最小质因子。现在给定(n(n<=1000000))个编号为(k_{1}!,k_{2}!,...,k_{n}!(0<=k_{i}<=5000))的点，你的任务是在这棵树 上确定一个点(p)使得(sum_{i}dis(p,k_{i}!))最小，输出这个最小值。

这棵树大概就长这个样子，其中边缘加粗的点分别是(1!,2!,3!,4!)

不妨把这(n)个点称为关键点，显然，(k_{i})相同的关键点可以放在一起处理，那么(n)的规模退化到5000。
手玩一下发现，(4!=3*2*2*2)的位置是这样确定的：
[1*3=3,3*2=6,6*2=12,12*2=24]
这启发我们是不是从根节点开始，从大到小依次乘(x)的质因子，最后就可以走到(x)？这是正确的。
好了，我们可以把(0!,1!,...,5000!)先分解一波质因子，就有办法确定这n个点在树上的位置关系了。
接下来考虑如何确定点(p)。
首先钦定(p=1)，然后尝试向把(p)向(p)的关键点最多的子树移动一步，设移动到(p')

1. 如果(p')能使答案更小，则(p=p')，并重新统计(p)的各个子树关键点的数量；
2. 否则(p)就是使答案最小的点，退出循环。

移动一次维护关键点数量的复杂度为(n)，最多移动(d(n!))次，(d(n!))为(n!)的质因子数，它小于等于(n!)的约数个数，而(n!)的约数个数为(nlogn)，因此总的复杂度为(O(n^2logn))。（这里(n)的规模为5000）
应该有更低的上界，但无所谓了。
代码就咕了。