差分约束

Posted 2021-03-14 gorgeousbankarian

What is Difference Constrains System?

差分约束系统<(V, C)>：

• (V)为系统中的变量集合
• (C)为系统中约束集合，即一组不等式，每一条约束的形式如 (x_i-x_j leq b_{i,j}), (x_i,x_j in V, b_{i,j} in R)
  写成矩阵的形式，则每一列有且仅有一个1和-1，其余为零:
  [ left( egin{matrix} 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \end{matrix} ight) left( egin{matrix} x_i x_j x_k x_l \end{matrix} ight) leq left( egin{matrix} b_{i,j} b_{k,j} b_{j,k} \end{matrix} ight) ]

求解差分约束系统

求解差分约束系统<(V, C)>的解就是求满足所有不等式(C)的一个关于(V)集合的解，由于不等式往往存在多解。

通常利用有向图的最短路径、最长路径算法来求解差分约束的解。为何可以这样呢？以图论的最短路径算法为例，在求解最短路径的时候往往会有松弛操作:
[ Dis[v] > Dis[u] + weight(u, v) quad then quad Dis[v] = Dis[u] + weight(u, v) ]
那么松弛完后(Dis[v] leq Dis[u] + weight(u, v)) (这也是最短路的一个结论)，移一下项变成(Dis[u]-Dis[v] leq weight(u,v)) 满足约束的形式(x_i-x_j leq b_{i,j})。所以可以通过最短路径算法求解(leq)类型的差分约束系统，图的顶点集(V^{'} Rightarrow V)，图的边集(E^{'} Rightarrow C)，最终求解出的(Dis[i] Rightarrow x_i)。同理，最长路径算法则可以解决(geq)类型的差分约束系统。