ybt1315 递归例题（虽然没用递归）集合划分

Posted 2021-03-14 wild-donkey

ybt1315 集合划分

递归算法

【题目描述】

设S是一个具有n个元素的集合，S＝?a1，a2，……，an?S＝?a1，a2，……，an?，现将S划分成k个满足下列条件的子集合S1，S2，……，SkS1，S2，……，Sk ，且满足：

1．Si≠?Si≠?

2．Si∩Sj＝?Si∩Sj＝? (1≤i，j≤k，i≠j1≤i，j≤k，i≠j)

3．S1∪S2∪S3∪…∪Sk＝SS1∪S2∪S3∪…∪Sk＝S

则称S1，S2，……，SkS1，S2，……，Sk是集合S的一个划分。它相当于把S集合中的n个元素a1，a2，……，ana1，a2，……，an 放入kk个(0＜k≤n＜300＜k≤n＜30)无标号的盒子中，使得没有一个盒子为空。请你确定nn个元素a1，a2，……，ana1，a2，……，an 放入kk个无标号盒子中去的划分数S(n,k)S(n,k)。

【输入】

给出nn和kk。

【输出】

nn个元素a1，a2，……，ana1，a2，……，an 放入kk个无标号盒子中去的划分数S(n,k)S(n,k)。

【输入样例】

10 6

【输出样例】

22827

设f~i,j~为i个元素时分成j个集合的方案数。

对任意的n，当满足k=n的时候，则f~n,k~=1。

分析除特殊情况外的一般情况f~4,,3~=6，则是由：

方案一：1,2;3;4

方案二：1;2,3;4

方案三：1;2;3,4

方案四：1,3;2;4

方案五：1,4;2;3

方案六：2,4;1;3

组成的。

可以将其理解为f~3,3~的情况往里加了元素4。

这样4就有两种情况，自己成为独立的集合（方案一，二，四）；加入之前的集合（方案三，五，六）

（和ybt1192放苹果类似）

分这两类讨论：

如果新元素自己成为集合，那么就简化成讨论剩下i-1个元素分到j-1个集合的方案

如果新元素加入原有集合，那么就简化为讨论剩下i-1个元素分到原有j个集合的方案

但是新元素可以加入原有j个集合中任意一个，所以要乘j。

写出方程：f~i,j~=f~i-1,j-1~+j*f~i-1,j~

#include<iostream>
using namespace std;
long long n,k,f[505][505];
int main() {
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        f[i][i]=1;
        f[i][1]=1;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=2;j<i;j++) {
            f[i][j]=f[i-1][j-1]+j*f[i-1][j];
        }
    cout<<f[n][k]<<endl;
    return  0;
}

当然，也可以用滚动数组优化成一维数组：

#include<iostream>
using namespace std;
long long n,k,f[505];
int main() {
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        f[i]=1;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=i-1;j>=2;j--) {//因为更新f[j]时要调用f[j-1],为了消除本轮数据造成的影响，需要倒着循环
            f[j]=f[j-1]+j*f[j];
        }
    cout<<f[k]<<endl;
    return  0;
}

（例题也好意思发博客）