数论小记

Posted 2021-03-14 wxyww

人老了，记性就不好，这个文章主要是整理一些定理，方便后面复习。没有证明。

常见的积性函数

单位函数

[epsilon(n)=[n=1]]

欧拉函数

[varphi(n)=nsum(1-frac{1}{p_i})]

表示小于等于n的数字中与n互质的数字个数。

莫比乌斯函数

[mu(x)=egin{cases}1 &(x=1)(-1)^k & x=p_1p_2...p_k\ 0 & elseend{cases}]

正因子数

[d(n)=sumlimits_{i|n}1]

因子函数

[sigma_k(n)=sumlimits_{d|n}d^k]

易知(sigma_0(n)=d(n))
(sigma_1(n))一般记作(sigma(n))

常值函数

[1(n)=1]

幂函数

[Id_k(n)=n^k]

特别的，(Id_1(n))常记作(Id(n))

狄利克雷卷积

对于两个数论函数(f)，(g)

[f*g(n)=sumlimits_{d|n}f(d)g(frac{n}{d})]

其中*为狄利克雷卷积的运算符号。如果f和g为积性函数，那么(f*g)也为积性函数。

性质

1.对于任意的数论函数f有
[f*epsilon=f]

2.[Id = 1*varphi]

3.[epsilon=1*mu]

4.[sigma_k=1*Id_k]

莫比乌斯反演

如果(g=f*1)

那么有(f=f*epsilon=f*1*mu=g*mu)

莫比乌斯反演常用卷积：(mu*1=epsilon,Id=1*varphi)

其他小知识点

(lfloorfrac{lfloorfrac{n}{i} floor}{x} floor=lfloorfrac{n}{ix} floor)

(sumlimits_{i=1}^nlfloorfrac{n}{i} floor=sumlimits_{i=1}^nd(i))