最短路（Dijkstra，Floyd，Bellman_Ford，SPFA）

Posted 2021-03-14 denerate

当然，这篇文章是借鉴大佬的。。。

最短路算法大约来说就是有4种——Dijkstra，Floyd，Bellman_Ford，SPFA

接下来，就可以一一看一下。。。

1.Dijkstra（权值非负，适用于有向图及无向图，单源最短路）

1 Dijkstra‘s算法解决的是图中单个源点到其它顶点的最短路径。只能解决权值非负（看了代码就知道了）
2 Dijkstral只能求出任意点到达源点的最短距离（不能求出任意两点之间的最短距离），同时适用于有向图和无向图，复杂度为O(n^2).
3算法的过程： 
1设置顶点集合S并不断的作贪心选择来选择扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源点到该点的最短路径长度已知
2 初始时，S中仅含有源。设U是G的某一个顶点，把从源到U且中间只经过S中的顶点的路称为从源到U的特殊路径，并用dis数组距离当前每一个顶点所对应的最短特殊路径
3Dijkstra算法每一次从V-S中取出具有最短特殊长度的顶点u，将u添加到S中，同时对dis数组进行修改。一旦S包含了所有的V中的顶点，dis数组就记录了从源点到其它顶点的最短路径长度。
4 模板:
没有优化，时间复杂度o(n^2)

 1 #define MAXN 1010
 2 #define INF 0xFFFFFFF
 3 int  value[MAXN][MAXN];/*保存的是边权值*/
 4 int  dis[MAXN]；/*保存源点到任意点之间的最短路*/
 5 int  father[MAXN];/*保存i点的父亲节点*/
 6 int  vis[MAXN];/*记录顶点是否没取过*/ 
 7  
 8 void input(){     
 9       int star , end , v;
10       scanf("%d%d" , &n , &m);
11       /*初始化value数组*/
12      for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
13          for(int j = 1; j <= n ; j++)
14              value[i][j] = INF;
15      }
16     for(int i = 0 ; i < m ; i++){
17         scanf("%d%d%d" ,  &star , &end , &v);
18         if(value[star][end] == INF)
19             value[star][end] = value[end][star] = v;/*处理成无向图*/
20         else{
21             if(v < value[star][end])/*判断重边是否出现*/
22                  value[star][end] = value[end][star] = v;
23         }
24 }
25  
26 void dijkstra(int s){
27      memset(vis , 0 , sizeof(vis));
28      memset(father , 0 , sizeof(father));
29      /*初始化dis数组*/
30      for(int i = 1 ; i<= n ; i++)
31           dis[i] = INF;
32      dis[s] = 0;
33      for(int i = 1 ; i <= n ; i++){/*枚举n个顶点*/
34         int pos;
35         pos = -1;
36         for(int j = 1 ; j <= n ;j++){/*找到未加入集合的最短路点*/
37            if(!vis[j] && (pos == -1 || dis[j] < dis[pos]))
38               pos = j;
39         }
40         vis[pos] = 1;/*把这个点加入最短路径集合*/
41         for(int j = 1 ; j <= n ; j++){/*更新dis数组*/
42            if(!vis[j] && (dis[j] > dis[pos] + value[pos][j])){
43              dis[j] = dis[pos] + value[pos][j];
44              father[j] = pos;
45            }
46         }
47      }
48 }

当然，肯定是得有优化过的。。。时间复杂度o(mlogn),这里用的是邻接表优化，当然最自然还是得属链式前向星。

 1 优化过的，时间复杂度为o(mlogn);
 2 /*利用邻接表来优化*/
 3 #include<utility> 
 4 typedef pair<int , int>pii;/*pair专门把两个类型捆绑在一起的*/
 5 priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> >q;/*优先队列默认使用“<”，那么优先队列的元素是从大到小，所以自己定义“>”比较，STL中可以用greater<int>来表示">"，这样就可以来声明一个小整数先出队的优先队列*/
 6 #define MAXN 1010
 7 #define INF 0xFFFFFFF
 8 int n , m;/*有n个点，m条边*/
 9 int first[MAXN] , next[MAXN];/*first数组保存的是节点i的第一条边，next保存的是边e的下一条边*/
10 int u[MAXN] , v[MAXN] , value[MAXN];
11 int vis[MAXN];
12 int dis[MAXN];
13  
14 /*读入这个图*/
15 void input(){
16      scanf("%d%d" , &n , &m);
17      /*初始化表头*/
18      for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
19         first[i] = -1;
20      for(int i = 1 ; i <= m ; i++){
21         scanf("%d%d" , &u[i] , &v[i] , &value[i]);       
22         next[i] = first[u[i]];/*表头往后移动*/
23         first[u[i]] = i;/*更新表头*/
24      }
25 }
26  
27 /*Dijkstra*/
28 void Dijkstra(int s){
29      memset(vis , 0 , sizeof(vis));
30      /*初始化点的距离*/
31      for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
32           dis[i] = INF;
33     dis[s] = 0;
34      while(!q.empty())
35         q.pop();
36      q.push(make_pair(dis[s] , s));
37      while(!q.empty()){
38           pii u = q.top();
39           q.pop();
40           int x = u.second;
41           if(vis[x])
42             continue; 
43           vis[x] = 1;
44           for(int i = first[x] ; i != -1 ; i = next[i]){
45              if(dis[v[e]] > dis[x] + value[i]){
46                 dis[v[i]] = dis[x] + value[i];
47                 q.push(make_pair(dis[v[i] , v[i]));
48              }
49           }
50      }
51 }

2.Floyd（权值非负，适用于有向图及无向图，任意两点最短路）

1 floyd 的思想就是通过枚举n个点利用DP的思想来更新最短距离的，假设当前枚举到第k个点，那么就有任意的两个点i , j ，如果i k 相连 j k 相连 那么就可以知道这个时候dis[i][j] = min(dis[i][j] , dis[i][k] + dis[k][j]);，那么只要枚举完n个点，那么就说明已经完全更新完所有两点直间的最短路。

2 floyd算法是最简单的最短路径的算法，可以计算图中任意两点间的最短路径。floyd算法的时间复杂度为o(n^3)，如果是一个没有边权的图，把相连的两点间的距离设为dis[i][j]=1.不相连的两点设为无穷大，用floyd算法可以判断i j两点是否相连。
3 floyd 算法不允许所有的权值为负的回路。可以求出任意两点之间的最短距离。处理的是无向图
4 缺点是时间复杂度比较高，不适合计算大量数据

5 如果dis[i][i] != 0，说明此时存在环。 

6 如果利用floyd求最小值的时候，初始化dis为INF ， 如果是求最大值的话初始化为-1.

7 模板：时间复杂度o(n^3)

 1 #define INF 0xFFFFFFF
 2 #define MAXN 1010
 3 int dis[MAXN][MAXN];
 4  
 5 /*如果是求最小值的话，初始化为INF即可*/
 6 void init(){
 7      for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
 8         for(int j = 1 ; j <= n ; j++)
 9              dis[i][j] = INF;
10         dis[i][i] = 0;
11      }
12 }
13  
14 /*如果是求最大值的话，初始化为-1*/
15 void init(){
16      for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
17         for(int j = 1 ; j <= n ; j++)
18              dis[i][j] = -1；
19      }
20 }
21  
22 /*floyd算法*/
23 void folyd(){
24         for(int k = 1 ; k <= n ; k++){/*枚举n个点来更新dis*/
25             for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
26                 for(int j = 1 ; j <= n ; j++)
27                   if(dis[i][k] != -1 && dis[j][k] != -1)/*如果在求最大值的时候加上这一句*/
28                      dis[i][j] = min(dis[i][k]+dis[k][j] , dis[i][j]); 
29             } 
30        }
31  }

当然，一般的最短路应该没有那么得emmZZ优秀，肯定还是得有一个扩展来求最短路径的 所以。。。

如何用floyd找出最短路径所行经的点： 1 这里要用到另一个矩阵P，它的定义是这样的：p(ij)的值如果为p，就表示i到j的最短行经为i->p...->j，也就是说p是i到j的最短行径中的j之前的第1个点。

2 P矩阵的初值为p(ij) = j。有了这个矩阵之后，要找最短路径就轻而易举了。对于i到j而言找出p(ij)，令为p，就知道了路径i->p....->j；再去找p(pj)，如果值为q，p到j的最短路径为p->q...->j；再去找p(qj)，如果值为r，i到q的最短路径为q>r...->q；所以一再反复，就会得到答案。

3  但是，如何动态的回填P矩阵的值呢？回想一下，当d(ij)>d(ik)+d(kj)时，就要让i到j的最短路径改为走i->...->k->...->j这一条路，但是d(ik)的值是已知的，换句话说，就是i->...->k这条路是已知的，所以i->...->k这条路上k的第一个城市(即p(ik))也是已知的，当然，因为要改走i->...->k->...->j这一条路，p(ij)的第一个城市正好是p(ik)。所以一旦发现d(ij)>d(ik)+d(kj)，就把p(ik)存入p(ij).

4 代码：

 1 int dis[MAXN][MAXN];
 2 int path[MAXN][MAXN];
 3  
 4 void floyd(){
 5       int  i, j, k;
 6       /*先初始化化为j*/
 7       for (i = 1; i <= n; i++){
 8            for (j = 1; j <= n; j++)
 9                path[i][j] = j;
10       }
11       for (k = 1; k <= n; k++){/*枚举n个点*/
12           for (i = 1; i <= n; i++){
13               for (j = 1; j <= n; j++){
14                    if (dis[i][j] > dis[i][k]+dis[k][j]){
15                          path[i][j] = path[i][k];/*更新为path[i][k]*/
16                          dis[i][j] = dis[i][k]+dis[k][j];
17                     }
18               }
19            }
20       }
21 }

牛逼的是，Floyd还是可以求最小环的，但本蒟蒻还是比较稀饭用并查集求最小环

1 为什么要在更新最短路之前求最小环：
在第k层循环，我们要找的是最大结点为k的环，而此时Dist数组存放的是k-1层循环结束时的经过k-1结点的最短路径，也就是说以上求出的最短路是不经过k点的，这就刚好符合我们的要求。为什么呢？假设环中结点i,j是与k直接相连，如果先求出经过k的最短路，那么会有这样一种情况，即：i到j的最短路经过k。这样的话就形成不了环 。

2最小环改进算法的证明：
一个环中的最大结点为k(编号最大)，与他相连的两个点为i,j，这个环的最短长度为g[i][k]+g[k][j]+dis[i][j] (i到j的路径中,所有结点编号都小于k的最短路径长度)。根据floyd的原理，在最外层循环做了k-1次之后，dist[i][j]则代表了i到j的路径中，所有结点编号都小于k的最短路径, 综上所述，该算法一定能找到图中最小环。

3 为什么还要value数组：
因为dis数组时刻都在变动不能表示出原来两个点之间的距离。

4 形成环至少要有3点不同的点，两个点是不能算环的。
5 代码：

 1 int mincircle = INF;
 2 int dis[MAXN][MAXN];
 3 int value[MAXN][MAXN];
 4  
 5 void floyd(){
 6      memcpy(value , dis , sizeof(value));
 7      for(int k = 1 ; k <= n ; k++){
 8           /*求最小环,不包含第k个点*/
 9           for(int i = 1 ; i < k ; i++){/*到k-1即可*/
10                for(int j = i+1 ; j < k ; j++)/*到k-1即可*/
11                    mincircle = min(mincircle , dis[i][j]+value[i][k]+value[k][j]);/*无向图*/
12                    mincircle = min(mincircle , dis[i][j] +value[i][k]+value[k][j]);/*表示i->k ， k->j有边*/
13            }
14           /*更新最短路*/
15           for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
16                for(int j = 1 ; j <= n ; j++)
17                    dis[i][j] = min(dis[i][k]+dis[k][j] , dis[i][j]);
18           }
19      }  
20 }

3.Bellman_Ford(权值可正可负，用来判断负环，有向图与无向图，单源最短路）

1 Bellman_Frod可以计算边权为负值的最短路问题，适用于有向图和无向图.用来求解源点到达任意点的最短路。

2 在边权可正可负的图中，环有零环，正环，负环3种。如果包含零环和正环的话，去掉以后路径不会变成，如果包含负环则最短路是不存在的。那么既然不包含负环，所以最短路除了源点意外最多只经过n-1个点，这样就可以通过n-1次的松弛得到源点到每个点的最短路径。

3 时间复杂度o(n*m);
4 如果存在环的话就是经过n-1次松弛操作后还能更新dis数组。
5 模板：

 1 #define INF 0xFFFFFFF
 2 #define MAXN 1010*2
 3 int dis[MAXN];/*dis[i]表示的是源点到点i的最短路*/
 4 strucu Edge{
 5    int x;
 6    int y;
 7    int value;
 8 }e[MAXN];
 9  
10 /*返回最小值*/
11 int min(int a , int b){
12     return a < b ? a : b;
13 }
14  
15 /*处理成无向图*/
16 void input(){
17      for(int i = 0 ; i < m ; i++){
18         scanf("%d%d%d" , e[i].x , &e[i].y , &e[i].value);
19         e[i+m].x = e[i].y;/*注意地方*/
20         e[i+m].y = e[i].x;/*注意地方*/
21         e[i+m].value = e[i].value;          
22      }
23 }
24  
25 /*假设现在有n个点，m条边*/
26 void Bellman_Ford(int s){
27     /*初始化dis数组*/
28     for(int i = 1 ; i <= s ; i++)
29          dis[i] = INF;
30     dis[s] = 0;
31     for(int i = 1 ; i < n ; i++){/*做n-1次松弛*/
32        for(int j = 0 ; j < 2*m ; j++){/*每一次枚举2*m条边，因为是无向图*/
33           if(dis[e[j].y] > dis[e[j].x] + e[j].value)
34            dis[e[j.].y] = dis[e[i].x]+e[j].value;/*更新dis[e[j].y]*/
35           }
36        }
37     }
38 }

4.SPFA（权值可正可负，判定负环，有向图和无向图，单源最短路）

本蒟蒻还是比较稀饭SPFA的，至少是Bellman_Frod的升级版，并且lll优化和slf优化使得其非常牛X优秀

 1 #define MAXN 1010
 2 #define INF 0xFFFFFFF
 3  
 4 int n , m;
 5 int first[MAXN] , next[MAXN];
 6 int star[MAXN] , end[MAXN] , value[MAXN];
 7 int dis[MAXN];
 8 queue<int>q;
 9  
10 /*输入*/
11 void input(){
12      scanf("%d%d" , &n , &m);
13      /*初始化表头*/
14      for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
15         first[i] = -1;
16         next[i] = -1;
17      }
18      /*读入m条边*/
19      for(int i = 0 ; i < m ; i++){
20         scanf("%d%d%d" , &star[i] , &end[i] , &value[i]);
21         star[i+m] = end[i];
22         end[i+m] = star[i];
23         value[i+m] = value[i];
24  
25         next[i] = first[star[i]];/*由于要插入表头，所以将原先表头后移*/
26         first[star[i]] = i;/*插入表头*/
27         next[i+m] = first[star[i+m]];
28         first[star[i+m]] = i+m;
29      }
30 }
31  
32 /*SPFA*/
33 void SPFA(int s){
34      while(!q.empty())
35           q.pop();
36      int vis[MAXN];
37      memset(vis , 0 , sizeof(vis));
38      /*初始化dis*/
39      for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
40           dis[i] = INF;
41      dis[s] = 0;
42      q.push(s);/*将源点加入队列*/
43      vis[s] = 1;/*源点标记为1*/
44      while(!q.empty()){
45           int x = q.front();
46           q.pop();
47           vis[x] = 0;/*注意这里要重新标记为0，说明已经出队*/
48           /*枚举和点x有关的所有边*/
49           for(int i = first[x] ; i != -1 ; i = next[i]){
50              if(dis[end[i]] > dis[x] + value[i]){/*松弛操作，利用三角不等式*/
51                dis[end[i]] = dis[x] + value[i];
52                if(!vis[end[i]]){/*如果该点不再队列里面*/
53                   vis[end[i]] = 1;                
54                   q.push(end[i]);
55                }
56              }
57           }
58      }

 既然已经在前面提到过SPFA的两种优化方法了，这里就来YY介绍一下

SLF优化（双端队列deque优化）：Small Label First 策略：设要加入的节点是j jj，队首元素为i ii，若dist(j)&lt;dist(i) dist(j) &lt; dist(i)dist(j)<dist(i)，则将j插入队首，否则插入队尾。（deque）
LLL优化：Large Label Last 策略：设队首元素为i ii，每次弹出时进行判断，队列中所有dist值的平均值为x，若dist(i)>x dist(i)&gt;xdist(i)>x则将i ii插入到队尾，查找下一元素，直到找到某一i ii使得dist(i)&lt;=x dist(i)&lt;=xdist(i)<=x，则将i出对进行松弛操作。

 1 char str[maxn][maxn];
 2 int vis[maxn][maxn],dis[maxn][maxn],n,m;
 3 int ans[30],sum,cnt;
 4 int dx[] = {-1,-1,0,1,1,1,0,-1},dy[] = {0,1,1,1,0,-1,-1,-1};
 5 deque<PII>q;
 6 void spfa()
 7 {
 8     while(!q.empty()){
 9         PII f = q.front();q.pop_front();
10         //LLL优化
11         if(dis[f.fi][f.se] * cnt > sum){
12             q.push_back(f);
13             continue;
14         }
15         sum -= dis[f.fi][f.se];cnt--;
16         vis[f.fi][f.se] = 0;
17         for( int i = 0; i < 8; i++ ){
18             int nx = f.fi + dx[i],ny = f.se + dy[i];
19             if(nx < 1 || nx > n || ny < 1 || ny > m)continue;
20             int w = (str[nx][ny] != str[f.fi][f.se]);
21             if(dis[nx][ny] > dis[f.fi][f.se] + w){
22                 dis[nx][ny] = dis[f.fi][f.se] + w;
23                 if(!vis[nx][ny]){
24                     vis[nx][ny] = 1;
25                     //SLF优化
26                     if(dis[nx][ny] < dis[q.front().fi][q.front().se]){
27                         q.push_front(mp(nx,ny));
28                     }
29                     else {
30                         q.push_back(mp(nx,ny));
31                     }
32                     sum += dis[nx][ny];cnt++;
33                 }
34             }
35         }
36     }
37 }
38 void init()
39 {
40     cl(dis,INF);
41     cl(vis,0);
42     cl(ans,INF);
43     sum = cnt = 0;
44 }

本蒟蒻还是比较稀饭slf优化的（主要是习惯了）