二分法（二分查找，二分答案）

Posted 2021-03-14 denerate

二分是一个常用的小技巧，可以将原本O(n)的复杂度降为O(log n)。但是二分也有局限性，只能在一个单调有序的集合中使用，所以，对于一道题目，我们要先判断它是否具有可二分性，然后再进行二分。

1.二分查找

思路：

在一个不严格单调的有序集合中，我们如果要查找一个元素的位置，可以用l来存储下界，用r来存储上界，然后将整个集合分成两半，通过对集合中间元素与目标元素的比较，来判断目标元素是在集合中的左半部分还是右半部分（如果中间元素与目标元素相同，则退出函数，返回中间元素的位置），随后更新上界和下界。不断进行这样的操作，直至l>r为止。

代码：

 1 //这里以在一个不严格单调递增数组中查找元素为例
 2 int find(int l,int r,int v)//l存储上界，r存储下界，v即为目标元素
 3 {
 4     if(l>r) return -1;//如果找不到就返回-1
 5     int mid=(l+r)>>1;//mid即为中间元素的位置，这里用位运算提高效率，相当于"int mid=(l+r)/2;"（位运算请见https://blog.csdn.net/chenxiaoran666/article/details/79770278）
 6     //对中间元素与目标元素进行比较
 7     if(sum[mid]==v) return mid;//中间元素与目标元素相同，则退出函数，返回中间元素的位置
 8     else if(sum[mid]>v) find(l,mid-1);//中间元素大于目标元素，将上界更新为中间元素的位置-1
 9     else find(mid+1,r);//中间元素小于目标元素，将下界更新为中间元素的位置+1
10 }

2.二分答案

思路：当遇到求极值的问题时，如果该题目的答案具有可二分性，我们同样可以用二分法来解决。依旧用l来存储下界，用r来存储上界，随后用验证函数check()来判断l与r的中间值作为答案是否可行，并不断更新上界和下界，有着极高的效率，一般就是求最大的最小，最小的最大。

代码：

 1 //这里以求最大值为例
 2 void find(int l,int r)
 3 {
 4     if(l>r) return;//当上界大于下界时，就退出函数
 5     int mid=(l+r)>>1;//mid即为l与r的中间值
 6     //用验证函数check()来判断l与r的中间值作为答案是否可行，其中check()函数请视题目情况自行编写
 7     if(check(mid)) ans=mid,find(mid+1,r);//若可行，则更新答案，并将下界更新为中间元素的位置+1
 8     else find(l,mid-1);//若不可行，则将上界更新为中间元素的位置-1
 9  
10 }