并查集

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了并查集相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

 

并查集是一种树型的数据结构,用于处理一些不相交集(Disjoint Sets)的合并及查询问题。不相交集,顾名思义,就是交集为空集的一些集合。比如集合 {1,3,5} 和集合 {2,4,6} 就是

不相交集。 {2,3,5} 和 {1,3,5} 就不是,因为他们的交集不是空集。该数据结构由Bernard A. Galler和Michael J. Fischer于1964年提出。

对于并查集,主要有如下操作:

1.合并两个集合(“并”)

2.判断两个元素是否属于同一个集合。(“查”)

为了能更好地理解这个数据结构,我们不妨看一下一个文风看起来就很古老的故事(来自这里):

话说江湖上散落着各式各样的大侠,有上千个之多。他们没有什么正当职业,整天背着剑在外面走来走去,碰到和自己不是一路人的,就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气,绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”,只要是能通过朋友关系串联起来的,不管拐了多少个弯,都认为是自己人。这样一来,江湖上就形成了一个一个的群落,通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人,无论如何都无法通过朋友关系连起来,于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人,如何判断是否属于一个朋友圈呢?
我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人,作为该圈子的代表人物,这样,每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人,就可以确定敌友关系了。
但是还有问题啊,大侠们只知道自己直接的朋友是谁,很多人压根就不认识队长,要判断自己的队长是谁,只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去:“你是不是队长?你是不是队长?”这样一来,队长面子上挂不住了,而且效率太低,还有可能陷入无限循环中。于是队长下令,重新组队。队内所有人实行分等级制度,形成树状结构,我队长就是根节点,下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候,只要一层层向上问,直到最高层,就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通,至于他们是如何连通的,以及每个圈子内部的结构是怎样的,甚至队长是谁,并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队,只要不搞错敌友关系就好了。于是,门派产生了。

技术图片

 

假设现在武林中的形势如图所示。虚竹小和尚与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物,他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太,那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架,就对他俩说:“你们两位拉拉勾,做好朋友吧。”他们看在我的面子上,同意了。这一同意可非同小可,整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化,可如何实现呀,要改动多少地方?其实非常简单,我对玄慈方丈说:“大师,麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来,两派原先的所有人员的终极boss都是师太,那还打个球啊!反正我们关心的只是连通性,门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了:“我靠,凭什么是我变成她手下呀,怎么不反过来?我抗议!”抗议无效,上天安排的,最大。反正谁加入谁效果是一样的,我就随手指定了一个。

对于并查集还有两种优化:路径压缩和按秩合并

我们继续看上文的故事,对于武林啊,使用路径压缩大致就是相当于这样(依旧来自这里):

建立门派的过程是两个人两个人地连接起来的,谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么胎唇样,我也完全无法预计,一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门,一共就两级结构,只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到,也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。 设想这样一个场景:两个互不相识的大侠碰面了,想知道能不能揍。 于是赶紧打电话问自己的上级:“你是不是掌门?” 上级说:“我不是呀,我的上级是谁谁谁,你问问他看看。” 一路问下去,原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀,原来是记己人,西礼西礼,在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会,在下九营十八组仙子狗尾巴花!” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等,两位同学请留步,还有事情没完成呢!”我叫住他俩。 “哦,对了,还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长:“组长啊,我查过了,其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起及接拜在曹公公手下吧,省得级别太低,以后查找掌门麻环。” “唔,有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样,查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理,所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。

而按秩合并,就是(本段由笔者自己瞎编):

...(合并那部分)玄慈一听肯定火大了:“我靠,凭什么是我变成她手下呀,怎么不反过来?我抗议!”我一听这不行啊,万一他要一发火把我顺便削了可不好完,于是我就想了个比较公平的合并方法。和他说:“要不这样吧,你们俩比一比谁手下的人层数少,层数少的那个就变成层数多的那个的下级,你看怎样呀?”玄慈听了觉着还行,就按照我说的做了。

故事完了,很不错滴,接下来就是代码时间了

1 inline int Find_Father(int X) {
2     if(Fa[X]==X) return X;//找到了
3     else return Fa[X]=Find_Father(Fa[X])//用于压缩优化并查集高度
4 }

还有种类并查集

用2n(或者mn)的大小的数组来存2层(m层)并查集

技术图片

 

将x1和y2相连接时需要将y1和x2连接,(m层图就同理)

当然,并查集还是可以求最小环

例题:洛谷P2661 信息传递

 1 //信息传递 
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5 
 6 #define INF 0x7fffffff
 7 using namespace std;
 8 const int MAXn=2e5+5;
 9 
10 int Total,Peo[MAXn],Fa[MAXn],Ans=INF,Giv;
11 
12 inline int Get_Fa(int Temp,int &Cnt){
13     Cnt++;
14     if(Fa[Temp]==Temp) return Temp;
15     else return Get_Fa(Fa[Temp],Cnt);
16 } 
17 
18 int main()
19 {
20     scanf("%d",&Total);
21     for(int i=1;i<=Total;i++) Fa[i]=i;
22     for(int i=1;i<=Total;i++){
23         int Cnt=0;
24         scanf("%d",&Giv);
25         if(Get_Fa(Giv,Cnt)==i) Ans=min(Ans,Cnt);
26         else Fa[i]=Giv;
27     }
28     printf("%d",Ans);
29     return 0;
30 }

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