并查集

Posted 2021-03-14 denerate

 

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集（Disjoint Sets）的合并及查询问题。不相交集，顾名思义，就是交集为空集的一些集合。比如集合 {1,3,5} 和集合 {2,4,6} 就是

不相交集。 {2,3,5} 和 {1,3,5} 就不是，因为他们的交集不是空集。该数据结构由Bernard A. Galler和Michael J. Fischer于1964年提出。

对于并查集，主要有如下操作：

1.合并两个集合（“并”）

2.判断两个元素是否属于同一个集合。（“查”）

为了能更好地理解这个数据结构，我们不妨看一下一个文风看起来就很古老的故事(来自这里)：

话说江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。他们没有什么正当职业，整天背着剑在外面走来走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，不管拐了多少个弯，都认为是自己人。这样一来，江湖上就形成了一个一个的群落，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人，无论如何都无法通过朋友关系连起来，于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？
我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人，作为该圈子的代表人物，这样，每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。
但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识队长，要判断自己的队长是谁，只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是队长？你是不是队长？”这样一来，队长面子上挂不住了，而且效率太低，还有可能陷入无限循环中。于是队长下令，重新组队。队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，我队长就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通，至于他们是如何连通的，以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至队长是谁，并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了。

 

假设现在武林中的形势如图所示。虚竹小和尚与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物，他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太，那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架，就对他俩说：“你们两位拉拉勾，做好朋友吧。”他们看在我的面子上，同意了。这一同意可非同小可，整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化，可如何实现呀，要改动多少地方？其实非常简单，我对玄慈方丈说：“大师，麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来，两派原先的所有人员的终极boss都是师太，那还打个球啊！反正我们关心的只是连通性，门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了：“我靠，凭什么是我变成她手下呀，怎么不反过来？我抗议！”抗议无效，上天安排的，最大。反正谁加入谁效果是一样的，我就随手指定了一个。

对于并查集还有两种优化：路径压缩和按秩合并

我们继续看上文的故事，对于武林啊，使用路径压缩大致就是相当于这样（依旧来自这里）：

建立门派的过程是两个人两个人地连接起来的，谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么胎唇样，我也完全无法预计，一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门，一共就两级结构，只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到，也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。 设想这样一个场景：两个互不相识的大侠碰面了，想知道能不能揍。 于是赶紧打电话问自己的上级：“你是不是掌门？” 上级说：“我不是呀，我的上级是谁谁谁，你问问他看看。” 一路问下去，原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀，原来是记己人，西礼西礼，在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会，在下九营十八组仙子狗尾巴花！” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等，两位同学请留步，还有事情没完成呢！”我叫住他俩。 “哦，对了，还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长：“组长啊，我查过了，其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起及接拜在曹公公手下吧，省得级别太低，以后查找掌门麻环。” “唔，有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样，查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理，所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。

而按秩合并，就是（本段由笔者自己瞎编）：

...（合并那部分）玄慈一听肯定火大了：“我靠，凭什么是我变成她手下呀，怎么不反过来？我抗议！”我一听这不行啊，万一他要一发火把我顺便削了可不好完，于是我就想了个比较公平的合并方法。和他说：“要不这样吧，你们俩比一比谁手下的人层数少，层数少的那个就变成层数多的那个的下级，你看怎样呀？”玄慈听了觉着还行，就按照我说的做了。

故事完了，很不错滴，接下来就是代码时间了

1 inline int Find_Father(int X) {
2     if(Fa[X]==X) return X;//找到了
3     else return Fa[X]=Find_Father(Fa[X])//用于压缩优化并查集高度
4 }

还有种类并查集：

用2n（或者mn）的大小的数组来存2层（m层）并查集

 

将x1和y2相连接时需要将y1和x2连接，（m层图就同理）

当然，并查集还是可以求最小环的

例题：洛谷P2661 信息传递

 1 //信息传递 
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5 
 6 #define INF 0x7fffffff
 7 using namespace std;
 8 const int MAXn=2e5+5;
 9 
10 int Total,Peo[MAXn],Fa[MAXn],Ans=INF,Giv;
11 
12 inline int Get_Fa(int Temp,int &Cnt){
13     Cnt++;
14     if(Fa[Temp]==Temp) return Temp;
15     else return Get_Fa(Fa[Temp],Cnt);
16 } 
17 
18 int main()
19 {
20     scanf("%d",&Total);
21     for(int i=1;i<=Total;i++) Fa[i]=i;
22     for(int i=1;i<=Total;i++){
23         int Cnt=0;
24         scanf("%d",&Giv);
25         if(Get_Fa(Giv,Cnt)==i) Ans=min(Ans,Cnt);
26         else Fa[i]=Giv;
27     }
28     printf("%d",Ans);
29     return 0;
30 }