知识点简单总结——BSGS与EXBSGS

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知识点简单总结——BSGS与EXBSGS

BSGS

给出 $ A,B,C,(A,C)=1 $ ,要你求最小的 $ x $ ,使得 $ A^x equiv B(mod C) $ 。

在数论题中经常会看见这样的式子,而它的用处确实也不少,例如:
指标
。。。想不到了(被打)

解题思路

众所周知 $ A^{x} equiv A^{x mod phi (C) }(mod C) $

所以考虑暴力枚举就可以。

但是我们显然要考虑一个更快的。

分块就好了。

设块大小 $ m $ ,预处理出 $ A^{1,2,...,m-1} $ 扔进哈希表。

剩下的应该不难了,经典分块一般的操作。

枚举每一个 $ i $ ,左式 $ =A^{im} $ 时哈希表里是否存在一个值 $ z $ 使得 $ A^{im}*z equiv B(mod C) $ ,存在的话就返回该最小答案。

EXBSGS

同上,唯一变化就是不保证 $ (A,C)=1 $ 。

既然它不给保证那就我们自己让它转化成 $ (A,C)=1 $ 。

对于 $ A^x equiv B(mod C),(A,C)=d $ ,直接全都除以 $ d $ ,

(如果 $ B mod d eq 0 $ 直接无解)

变成 $ (A/d)*A^{x-1} equiv B/d(mod C/d) $ 。

此时仍然无法保证 $ A $ 与 $ C/d $ 互质,

那么就重复以上操作直到互质。

然后就没了。

以上是关于知识点简单总结——BSGS与EXBSGS的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

BSGS与ExBSGS:大步小步法

[note]BSGS & exBSGS

BSGS和EXBSGS

exBSGS算法

2023.1.16[模板]BSGS/exBSGS

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