贴瓷砖问题

Posted 2021-03-14 brickert

问题描述：

　　现有2*n的地板，1*1的地砖，2*1的地砖，请问将地板铺满共有多少种铺法？

 

思路：

　　第一步，算出只用2*1的地砖铺满房间的数量；第二步，用1*1的地砖替换2*1的地砖，排列组合的总数乘以第一步中的数量。

 

解法：

第一步：

　　n=1时，f(1)=1

　　n=2时，f(2)=2

　　当n=3时，进行分析，第一款砖若是竖着放，则剩下一个2*2的空间，问题转化为n=2；第一块砖若是横着放，则第二块砖的位置也固定了，剩下一个2*1的空间，问题转化为n=1,所以可得f(3)=f(2)+f(1)

　　当n=4时，同上分析，第一块若竖着放，则剩下一个2*3的空间，方法为n=3的方法数；第一块砖若横着放，则第二块砖的位置也固定了，剩下一个2*2的空间，问题转化为n=2，所以可得f(4)=f(3)+f(2)

　　符合斐波那契数列

　　f(n)=f(n-1) + f(n-2)

double FibonacciSqe(int n)
{　　
    double dR = sqrt(5);
    double res = 0;
    if(n > 1)
    {
        res = 1/dR * (pow(((1+dR)/2),n) - pow(((1-dR)/2),n)) + 1;
    }
    else
    {
        res = 1/dR * (pow(((1+dR)/2),n) - pow(((1-dR)/2),n));
    }   
    
    return res;
}

　　FibonacciSqe(n)返回f(n)的值，代表只用2*1的地砖铺满地板需要的数量；

 

第二步：

　　设A为1*1的地砖，B为2*1的地砖；

　　用A替换B，在n块B中选出x块B，作为被替换目标。x取值范围：1~n；

　　x=1时，选出C1¹块，Sum(1)=1，即B被替换有1种选法

　　x=2时，选出C2⁰+C2¹+C2²块，Sum(2)=4，即B被替换有4种选法

　　x=3时，选出C3⁰+C3¹+C3²+C3³块，Sum(3)=8，即B被替换有8种选法

　　......

　　 x=n时，Sum(n)= Cn⁰+Cn¹+Cn²+...+Cn^n-1+Cnⁿ = 2^n，即B被替换有2^n种选法

 

　　所以总铺法 = 只用B铺的方法数量F(n)=FibonacciSqe(n)  乘以  A替换B的排列组合数量Sum(n)；

　　即，

　　　　result=F(n)*Sum(n)

　　这里要考虑特殊情况：x=n时，B全部被A替换，此时只有1种铺法，所以不能计入乘数，要用Sum(n)-1，且最后加上一种全部铺A的铺法

　　即，

　　　　result=F(n)*(2^n - 1) + 1

 

参考：https://blog.csdn.net/zyn2609530/article/details/51898572