阿波罗尼斯圆

Posted 2021-03-14 lbyifeng

[教材出处]

已知点 (M) 与两个定点 (O(0,0),A(3,0)) 的距离的比为 (dfrac{1}{2})，求点 (M) 的轨迹方程.

解析

设 (M(x,y))，依题意有 (dfrac{MO}{MA}=dfrac{1}{2})，即:[dfrac{sqrt{x^2+y^2}}{sqrt{(x-3)^2+y^2}}=dfrac{1}{2}]化简得：[(x+1)^2+y^2=4]则点 (M) 是以 ((-1,0)) 为圆心，(2) 为半径的圆.

定理

给定平面内两点 (A,B)，设点 (P) 在同一平面内且满足 (dfrac{PA}{PB}=lambda)，当 (lambda>0) 且 (lambda eq1) 时，点 (P) 的轨迹是一个圆，称为 阿波罗尼斯圆 .

证明

设 (A(-a,0),B(a,0),P(x,y),(a>0))，由 (dfrac{PA}{PB}=lambda) 得：[dfrac{sqrt{(x+a)^2+y^2}}{sqrt{(x-a)^2+y^2}}=lambda]化简得：[x^2+y^2+left(dfrac{1+lambda^2}{1-lambda^2} ight)cdot2ax+a^2=0]当 (lambda>0) 且 (lambda eq1) 时，(D^2+E^2-4F=4a^2left[left(dfrac{1+lambda^2}{1-lambda^2} ight)^2-1 ight]=)(4a^2left(dfrac{4lambda^2}{(1-lambda^2)^2} ight)>0)，则点 (P) 是以 (left(left(dfrac{lambda^2+1}{lambda^2-1} ight)a,0 ight)) 为圆心，(dfrac{2lambda a}{|lambda^2-1|}) 为半径的圆 .

习题

1. 若 (AB=2,AC=sqrt{2}BC)，则 (S_{ riangle ABC}) 的最大值是______.

2. 在等腰三角形 (ABC) 中，(AB=AC)，若 (AC) 边上中线长为 (6) ，则 (S_{ riangle ABC}) 的最大值为______.

3. 圆 (O_1) 与圆 (O_2) 的半径都是 (1),(O_1O_2=4) ，过动点 (P) 分别作圆 (O_1) 与圆 (O_2) 的切线 (PM,PN)((M,N)分别为切点())，使得 (PM=sqrt{2}PN) . 建立适当坐标系，求动点 (P) 的轨迹方程.

4. 已知直角坐标平面上点 (Q(2,0)) 和圆 (C:x^2+y^2=1)，动点 (M) 到圆 (C) 的切线长与 (|MQ|) 的比等于常数 (lambda(lambda>0)) . 求动点 (M) 的轨迹方程，说明它是什么曲线 .