BSGS 以及 ExBSGS

Posted 2020-11-15 ftotl

BSGS

引入

求解关于(X)的方程，
[A^Xequiv B pmod P]
其中(Gcd(A,P)=1)

求解

我们令(X=i*sqrt{P}-j)，其中(0<=i,j<=sqrt{P})
则原式可以变为：
[A^Xequiv B pmod P]
[A^{i*sqrt{P}-j}equiv B pmod P]
由于(Gcd(A,P)=1)，则可以恒等变化为：
[A^{i*sqrt{P}}equiv B*A^j pmod P]
则我们可以先预处理出所有的(A^{i*sqrt{P}})，存入哈希表。
再枚举(B*A^j)，在哈希表里查找即可得解。

代码

int quick_Pow(int x,int y,int p){
    if(y==0)return 1;
    if(y==1)return x;
    if(y%2)return 1ll*x*quick_Pow(1ll*x*x%p,y/2,p)%p;
    return quick_Pow(1ll*x*x%p,y/2,p);
}
void BSGS(int x,int y,int p){
    x%=p;y%=p;
    if(x==0&&y!=0){puts("-1");return ;}
    if(x==0&&y==0){puts("1");return ;}
    if(y==1){puts("0");return ;}
    int st=int(sqrt(p))+1;Mp.clear();
    for(int i=1,rt=1;i<=st;i++,rt=(1ll*rt*x)%p)Mp[rt]=i;
    int sum=quick_Pow(x,st,p);
    for(int i=1,rt=1;i<=st;i++){
        rt=(1ll*rt*sum)%p;
        if(Mp[rt]){
            printf("%d
",i*st-Mp[rt]);
            return ;
        }
    }
    puts("-1");
}

ExBSGS

引入

求解关于(X)的方程，
[A^Xequiv B pmod P]
其中(Gcd(A,P))无特殊条件。

由于(Gcd(A,P))可能不为(1)，所以(A)关于(P)可能没有逆元。
故不能用一般的 BSGS 求解。

求解

我们设(D=Gcd(A,P))，
则显然有 (frac{A}{D}equiv 1pmod P)
则原式[A^Xequiv B pmod P]
可恒等变形为[A^{X-1}cdotfrac{A}{D}equiv frac{B}{D} pmod {frac{P}{D}}]
而由于(Gcd(frac{A}{D},frac{P}{D})=1)，则有
[A^{X-1}equiv frac{B}{D}cdot({frac{A}{D}})^{-1} pmod {frac{P}{D}}]
则此时(frac{P}{D})就相当于新的(P)值，(frac{B}{D}cdot({frac{A}{D}})^{-1})就相当于新的(B)值，
就可以这样递推下去了。（注：下一次的(D)是新的(P)值与(A)的(Gcd)）

考虑边界状态：
①:若当前的(D=1)，则问题转化为普通的 BSGS。
②:若(B)值等于(1)了，则迭代到的(Ans)值为(1)。
③:若(D ot| B)，即(D)不是(B)的因数，则(frac{B}{D})没有意义，则无解。

综上，出解。

例题及代码

板题
题意：求满足(A^Xequiv B pmod{P})的最小整数(X)

#include<map>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<tr1/unordered_map>
using namespace std;
#define LL long long
tr1::unordered_map<LL,int>Mp;
LL Gcd(LL x,LL y){
    if(x==0)return y;
    return Gcd(y%x,x);
}
LL quick_Pow(LL x,LL y,LL p){
    if(y==0)return 1;
    if(y==1)return x;
    if(y%2)return x*quick_Pow(x*x%p,y/2,p)%p;
    return quick_Pow(x*x%p,y/2,p);
}
int ExBSGS(int x,int y,int p){
    if(y==1)return 0;//特判解为0的情况.
    LL k=0,a=1;
    while(1){
        int d=Gcd(x,p);if(d==1)break;
        if(y%d)return -1;
        y/=d;p/=d;k++;a=(1ll*a*x/d)%p;
        if(a==y)return k;//同特判.
    }Mp.clear();
    LL st=int(sqrt(p))+1,sum=quick_Pow(x,st,p);
    for(LL i=0,rt=y;i<=st;i++,rt=(1ll*rt*x)%p)Mp[rt]=i+1;
    for(LL i=1,rt=(a*sum)%p;i<=st;i++,rt=(1ll*rt*sum)%p){//不将求解中的A/D移项.
        if(!Mp[rt])continue;
        return 1ll*i*st-(Mp[rt]-1)+k;
    }
    return -1;
}
int A,B,C;
int main(){
    while(~scanf("%d%d%d",&A,&B,&C)&&A){
        int Ans=ExBSGS(A,C,B);
        if(Ans!=-1)printf("%d
",Ans);
        else puts("Orz,I can’t find D!");
    }
}

注：一般的，题目所给的A,B,C都是正整数。