斜率优化

Posted 2021-03-14 lhm-

优化形如(f_i=min/max(f_j+a_i×b_j+c_i+d_j)(j< i)) 的(DP)方程

设存在两个决策点(j,k)，且决策点(j)比决策点(k)更优，例如为取最小值时，得

(f_j+a_i×b_j+c_i+d_j<f_k+a_i×b_k+c_i+d_k)

(-a_i(b_j-b_k)>(f_j+d_j)-(f_k+d_k))

(-a_i>frac{(f_j+d_j)-(f_k+d_k)}{b_j-b_k})

我们就得到了该(DP)方程所对应的(x)为(b_j)，(y)为(f_j+d_j)，斜率为(-a_i)

通过这样的方式也就可以推出其他方程的(x,y)和斜率

如仓库建设中，(DP)方程为(f_i=f_j+dis_i×(p_i-p_j)-(s_i-s_j)+c_i)

其所对应的(x)为(p_j)，(y)为(f_j+s_j)，斜率为(dis_i)

(code:)

double x(int i)
{
    return p[i];
}
double y(int i)
{
    return f[i]+s[i];
}
double slope(int j,int k)
{
    return (y(j)-y(k))/(x(j)-x(k));
}

......

for(int i=1;i<=n;++i)
{
    while(h<t&&slope(q[h],q[h+1])<dis[i]) h++;
    f[i]=f[q[h]]+dis[i]*(p[i]-p[q[h]])-(s[i]-s[q[h]])+c[i];
    while(h<t&&slope(q[t],i)<slope(q[t],q[t-1])) t--;
    q[++t]=i;
}