树状数组

Posted 2021-03-14 nioh

树状数组是一种有效更新元素并计算前缀和的数据结构。
给定一个数组，需要进行上述操作。朴素算法是线性时间复杂度，而树状数组允许在O(logn)的时间内执行这两个操作。

假设原数组为a，与之等价的树状数组为c，有如下关系：
$egin{cases} c[x]=sum_{i=x-lowbit(x)+1}^{x}a[i] lowbit(x)=x&(-x) end{cases}$
lowbit(x)截取x的二进制形式中最低位的1及其后面的0，因此x-lowbit(x)可以抹去x的二进制形式中最低位的1。
比如（以下数值均为二进制），lowbit(10110)=10，10110-lowbit(10110)=10100。
等价关系的图像形式如图所示：

其中每个结点的值都等于其子孙结点值的和。
由图可以看出更新操作只需不断向上修改父结点，由关系式得出计算前缀和操作只需以lowbit为跨度求c数组的和。既然操作是抬升或消除二进制中的尾1，那么总操作次数必定小于等于二进制位数，这是对数级别的。

#define lowbit(x) x&-x
const int S;
int c[S] = {0};
void add(int x, int d){
    while(x <= S) c[x] += d,x += lowbit(x);
}
int sum(int x){
    int ret = 0;
    while(x > 0) ret += c[x], x -= lowbit(x);
    return ret;
}