题解 CF1294F Three Paths on a Tree

Posted 2021-03-14 cjtcalc

[ Preface ]

打比赛的时候先开了 F 题（雾

然后一眼看出 F 题结论，最后居然因为没有判重，交了三次才过。
[ Description ]
给出一棵无权树（可理解为边权为 (1) ），你需要选取三个点 (a,b,c) ，最大化 (a,b) 和 (b,c) 和 (a,c) 的简单路径的并集的长度。

输出这个最大长度和 (a,b,c) 。
[ Solution ]
有一个结论：

必定会有一组最优解，使得 (a,b) 是树直径上的端点。

这个结论我现在暂时不会证明，大家可以去看看其他 (dalao) 的证明或是自己给出证明 (>v<) 。

(~)

那我们可以套路地去把树直径两端点求出来，这里不推荐用 树形dp ，推荐大家用 两次搜索 求出树直径端点。

确定了 (a,b) ，接下来我们只要去找到最优的 (c) ，就可以最大化答案了。

此时我们注意到：(a,b) 和 (b,c) 和 (a,c) 的简单路径的并集的长度其实就是 (frac{dis(a,b)+dis(b,c)+dis(a,c)}{2}) 。

此时 (dis(a,b)) 已经确定了，当 (dis(b,c)+dis(a,c)) 的值取到最大，那么整个式子取最大。

把 (a,b) 到所有点的简单路径距离求出来，去枚举这个最优的 (c) 即可，枚举的过程中记得判与 (a,b) 相同的情况。
[ Code ]

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue> 

#define RI register int

using namespace std;

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-f;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    return x*f;
}

const int N=200100,M=400100;

int n;

int tot,head[N],ver[M],edge[M],Next[M];

void add(int u,int v,int w)
{
    ver[++tot]=v;    edge[tot]=w;     Next[tot]=head[u];    head[u]=tot;
}

int d[N],vis[N];

int pos;

void bfs(int sta)
{
    memset(d,0,sizeof(d));
    memset(vis,0,sizeof(vis));

    queue<int>q;

    q.push(sta);
    vis[sta]=1;

    while(q.size())
    {
        int u=q.front();q.pop();
        for(RI i=head[u];i;i=Next[i])
        {
            int v=ver[i],w=edge[i];
            if(vis[v])continue;
            d[v]=d[u]+w;
            vis[v]=1;
            if(d[v]>d[pos])pos=v;
            q.push(v);
        }
    }
}

int p1,p2;
int ans;

int tmp1[N],tmp2[N];

int main()
{
    n=read();

    for(RI i=1;i<n;i++)
    {
        int u=read(),v=read();
        add(u,v,1),add(v,u,1);
    }

    bfs(1);
    p1=pos;

    bfs(p1);
    p2=pos;

    for(RI i=1;i<=n;i++)
        tmp1[i]=d[i];

    bfs(p2);

    for(RI i=1;i<=n;i++)
        tmp2[i]=d[i];

    pos=0;
    for(RI i=1;i<=n;i++)
        if(tmp1[i]+tmp2[i]>tmp1[pos]+tmp2[pos]&&i!=p1&&i!=p2)pos=i;

    ans=(tmp1[p2]+tmp1[pos]+tmp2[pos])/2;

    printf("%d
",ans);
    printf("%d %d %d
",p1,p2,pos);

    return 0;
}

[ Thanks for watching ]