[状压DP思路妙题]图

Posted 2021-03-14 xyz32768

• 源自 luhong 大爷的 FJ 省冬令营模拟赛题

Statement

• 给定一个 (n) 个点 (m) 条边的图，没有重边与自环

• 每条边的两端点编号之差不超过 (12)

• 求选出一个非空点集使其导出子图连通的方案数模 (2) 后的结果

• (nle 50)，(mleinom n2)

Solution

• 妙啊！！！( imes 3)

• 首先我们注意到：对于一个非空图，(2^{连通块个数}equiv[图是否连通] imes 2(mod 4))

• 于是考虑转化成对于所有的点集，计算出 (2^{连通块个数}) 的和 (mod 4) 的结果

• 由于 (2|4) ，且空集的贡献为 (1)，所以上面的结果除以 (2) 下取整后就是答案

• 看上去好像好像更不好做

• 考虑组合意义：对选出的所有点黑白染色，使得任意边的两个端点颜色相同的方案数

• 由于边两端点之差不超过 (12)，可以有一个 DP：(f[i][S]) 表示前 (i) 个点，最后 (11) 个点的状态为 (S)（三进制数，储存白/黑/不在点集内三种情况）

• 转移枚举下一个点的状态即可

• (O(n imes3^{11}))

Code

• 咕咕咕