[USACO][DAG上的动态规划]Sorting A Three-Valued Sequence

Posted 2021-03-14 ggy778

好美的图论，真的 light up my life！
题意：

给出一个只含有若干1，2，3的数列，我们可以两两交换数列元素；要求输出让这个数列不减的最小交换次数。

思路：

首先看起来很像冒泡.....然鹅要最少交换次数——显然不是模拟冒泡了。

开始用深搜来着，显然没办法剪枝，果断T掉。这个时候就要想一想图论了。

想起来leetcode周赛的1247这道题。题目说的是有两个在{x，y}上相同长度的字符串，我们可以在两个字符串之间任选字符交换。求第一个字符串变成第二个字符串所需要的最小交换次数，有一点点相似~

那道题用的是把原数列和目标状态对比，统计x-y,y-x的个数。a,b都是偶数则恰好交换完（交换次数为 x/2+y/2），ab奇偶不同则无解，ab都是奇数则最后会剩下一堆x-y,y-x,需要额外两次操作(x/2+y/2+2)。

感觉这种自由交换都少不了目标态和原态之间对比~这道题也是已知了目标状态，但是是交换自己的字符。也是把当前字符串和目标串比较，就会发现有1-2,1-3,2-1,2-3,3-1,3-2这几种需要处理的情况。这就很像图的边的样子不是嘛！所以我们可以创造一个有向图，顶点为1,2,3，两两顶点都有有向边，边权为对比后算出1-2,2-1这种的数量。这样子，如果1-2和2-1的话就可以直接换掉这两个，交换次数加一。处理完所有重边就可以得到一个没有重边的图，这个图一定是个环，并且环上的边权都相等（因为这是一个必定可解的问题啊）。环是什么意思呢？是要交换两次才能摆平的意思哦~比如1-3,3-2,2-1，就是要把231变成123的意思，需要231->132->123;或者另一个方向的环3-1,1-2,2-3,是把312变成123，需要312->132->123这样。

是不是很巧妙！

代码：

/*
ID :ggy_7781
TASK :sort3
LANG :C++11
*/
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int a[1007];
int b[1007];
int N;
int edges[4][4];

int main(void)
{
    freopen("sort3.in","r",stdin);
    freopen("sort3.out","w",stdout);
    cin>>N;
    for(int i =0 ;i < N;i ++)
    {
        cin>>a[i];
        b[i] = a[i];
    }
    sort(b,b+N);

    for(int i = 0;i < N;i ++)
    {
        if(a[i] != b[i])
            edges[a[i]][b[i]] ++;
    }
    int ret = 0;
    for(int i = 1;i <= 3;i ++)
    {
        for(int j = 1;j<= 3;j ++)
        {
            int sub = min(edges[i][j],edges[j][i]);
            ret += sub;
            edges[i][j] -= sub;
            edges[j][i] -= sub;
        }
    }
    ret += 2* (edges[1][3] + edges[3][1]);
    cout<<ret<<endl;

    return 0;
}