算法学习——利用归并排序求逆序对的数量

Posted 2021-03-14 flydoggie

首先明白逆序对的定义，逆序对就是数组中两个元素前大后小，我们就称这两个元素为一组逆序对。

接着看题目：

 

 我们利用分治的思想，将区间一分为二，然后得到了逆序对的存在情况共三种：

1.两个元素都在左侧区间。

2.两个元素都在右侧区间。

3.两个元素一个在左，一个在右。

那么很明显我们分治的去解决这个问题，就得到解法，

1.将区间划分成左右两个区间

2.递归左右两个区间

3.统计逆序对数量（1）+（2）

4.计算逆序对数量（3）

5.返回相应的结果。

那么问题来了，逆序对(1)(2)的情况都很容易理解怎么求，但是情况(3)的逆序对我们该怎么样求数量呢？

大佬给的方法是这样的：我们已经将区间划分成为了左右两个区间，我们只需要统计，对于右区间中的每一个元素，在左区间内有多少元素比他大，满足左大右小就可以了。这个时候我们想到了归并排序的合并过程，就是利用两个指针，分别对两个区间的元素进行比较，然后把小的元素放进临时数组里，并且将对应的指针往后移动。由于归并排序的左右区间大小是确定的，左区间有(L+R)/2个元素，所以我们利用这点，当右区间的指针每次需要移动的时候，就表示左区间内当前剩余的所有元素都是比他大的，也就是说，对于右区间指针所指的当前元素，存在有 【左区间剩余的所有元素数量】个逆序对。核心就是这些，接下来是代码。

#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N  = 1e5 +10;
int a[N],tmp[N];

LL merge_sort(int l,int r){
    if(l>=r)return 0;
    int mid = l + r >> 1;
    LL res = merge_sort(l,mid)+merge_sort(mid+1,r);
    //归并过程
    int k = 0,i = l,j = mid+1;
    while(i<=mid && j<=r){
        if(a[i]<=a[j]){
            tmp[k++] = a[i++];
        }else{
            res += mid-i+1;
            tmp[k++] = a[j++];
            
        }
        
    }
    //回收
    while(i<=mid) tmp[k++] = a[i++];
    while(j<=r) tmp[k++] = a[j++];
    
    for(int i = l,j = 0;i<=r;i++,j++)
        a[i] = tmp[j];
    return res;
}

int main(){
    int n = 0;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
    
    
    cout<<merge_sort(0,n-1)<<endl;
    

    return 0;
}