网络流简介

Posted 2021-03-14 excellent-zzy

网络流

网络

区分两个概念：网络(或者流网络 Flow Network)与网络流(Flow)的概念。

网络是指一个有向图(G = (V,E))。

每条边((u,v) in E) 都有一个权值(c(u,v))，称之为容量，当((u,v) otin E)时有(c(u,v)=0)。

其中有两个特殊的点：源点(s in V)和汇点(t in V)，((s ot= t))。

流

设(f(u,v))定义在二元组((u in V,v in V)) 上的实数函数且满足以下性质：

• 容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即，(f(u,v) leq c(u,v))

• 斜对称性：每条边的流量与其相反边的流量之和为0，即(f(u,v) = -f(v,u))

• 流守恒性：从源点流出的流量等于汇点流入的流量，即
  [ forall x in V - (s,t),sum_{(x,v) in E}f(u,x) = sum _{(x,v) in E}f(x,v) ]

那么(f)称为网络(G)的流函数。对于((u,v) in E,f(u,v))称为边的流量，(c(u,v) - f(u,v))称为边的剩余容量。整个网络的流量为(sum _{(s,v) in E}f(s,v))，即从源点出发的所有流量之和。

一般而言可以把网络流理解为整个图的流量。而这个流量未必满足上述三个性质。

流函数的完整定义为
[ f(u,v) = left{ egin{aligned} f(u,v) ,(u,v) in E -f(v,u),(v,u) in E ,(u,v) otin E,(v,u) otin E end{aligned} ight. ]

网络流常见问题

网络流问题中常见的有以下三种：最大流，最小割，费用流

最大流

我们有一张图，求从源点流向汇点的最大流量（可以有很多条路到达汇点），就是我们的的最大流。

最小费用最大流

最小费用最大流问题是这样的：每条边都有一个费用，代表单位流量流过这条边的开销。我们要在求出最大流的同时，要求花费的费用最小。

最小割

割就是删边的意思，当然最小割就是删掉(X)条边来让(S)跟(T)不互通，我们要求从(X)条边加起来的流量综合最小。这就是最小割问题。