两角和的正切

Posted 2021-03-14 lbyifeng

[题目]

如图，正方形 (ABCD) 的边长为 (1) ，(P,Q) 分别为边 (AB,DA) 上的点.当 ( riangle APQ) 的周长为 (2) 时，求 (angle PCQ) 的大小.

[解析]

设 (angle DCQ=alpha , angle BCP=eta) ，则 (DQ= analpha,PB= aneta) . 因为[DQ+QA+AP+PB=2][QA+AP+PQ=2]所以 (PQ=QD+PB= analpha+ aneta) ，在 ({ m Rt} riangle QAP) 中 (QA^2+AP^2=PQ^2) . 即[(1- analpha)^2+(1- aneta)^2=( analpha+ aneta)^2]化简得[ analpha+ aneta=1- analpha aneta]故 ( an(alpha+eta)=dfrac{ analpha+ aneta}{1- analpha aneta}=1) . 又 (alpha+etain(0,dfrac{pi}{2})) ，所以 (alpha+eta=dfrac{pi}{4}) ，所以 (angle PCQ=dfrac{pi}{4}) .