质因数分解

Posted 2021-03-13 znk161223

??我们很容易发现，一个数最多只有一个大于(sqrt{n})的质因子。
证明：假设(exists{n}inmathbb{R}，n)有两个大于(sqrt{n})的质因子，分别记为(p_1,p_2)，
???则(ngeqslant p_1p_2)，
???又(p_1,p_2>sqrt{n})，
???( herefore p_1p_2>n)，矛盾，
???( herefore)一个数最多只有一个大于(sqrt{n})的质因子。

??所以我们只需要考虑(1～sqrt{n})之间的质因子，用他们来试除(n)，若最终(n)仍不为(1)，那么此时的n便是那个大于(sqrt{n})的质因子。
??大体的流程已经清楚，但是，在具体实现时的一些细节上我们仍然可以来优化它。
??试看下面这道例题。
例题：小凯的函数
??很显然，这一题就是要我们求出一个数的质因子个数。

    up=sqrt(a);
    ans=0;
    //prime[]数组是用欧拉筛预处理出的质数
    for(int i=1;prime[i]<=up;++i){
        while(a%prime[i]==0){
            a/=prime[i];
            ans++;
        }
    }
    if(a!=1) ans++;

??这样写看起来没有任何问题，然而提交之后你就会发现这样会超时，只能得到50分。
??那么，问题出在哪里？
??前面我们已经知道，一个数最多只有一个大于(sqrt{n})的质因子，所以我们只需要考虑(1～sqrt{n})之间的质因子。而每次试除成功后，(a)的值已然发生改变（为了方便叙述，我们将之记作(a')）。我们在接下来的试除过程中，只需考虑(1～sqrt{a'})的质因子，(sqrt{a'}～sqrt{a})的质因子就不用再考虑了。而如果我们按照上述写法，则仍然考虑了(sqrt{a'}～sqrt{a})这一部分质因子，引起超时。所以我们应当在每次(a)的值发生改变后，就相应地改变上界，减少时间的浪费。虽然这样时间复杂度仍然是(O(sqrt{n}))级别的，但是由于减少了冗余的试除，实际跑起来会快许多。
??代码如下。

    up=sqrt(a);
    for(register int i=1;prime[i]<=up;++i){
        if(a%prime[i]==0){
            while(a%prime[i]==0){
                a/=prime[i];
                ++ans;
            }
            up=sqrt(a);
        }
    }
    if(a!=1) ++ans;