[Matrix-Tree][插值][容斥][prufer序列][DP]夕张的改造

Posted 2021-03-13 xyz32768

• 源自 krydom 大爷的 FJ 省冬令营模拟赛题

Statement

• 给定一棵 (n) 个点的树和一个参数 (k)

• 每次操作可以选出树上的一条边删掉，然后再加一条边，使得操作之后还是一棵树

• 求 (k) 次操作能得到多少种不同的树，对 (998244353) 取模

• (nle 50)（原题数据范围）

• (nle 2000)（加强版）

• (nle 10^5)（我不会，可以问 PinkRabbit）

Solution 1：Matrix-Tree 矩阵树定理+拉格朗日插值 (std)

• 树有两种常用的计数工具：Matrix-Tree 定理和 prufer 序列

• 标解的做法是 Matrix-Tree 矩阵树定理

• 易得我们要求的就是有多少棵树和原树的不同的边数 (le k)

• 考虑矩阵树定理的本质：求所有生成树的边权积之和

• 于是我们考虑一个完全图，把每条边定权，如果这条边在原树上则权值为 (1)，否则为 (x)

• 这样对这个图求一遍 Matrix-Tree 之后得到的答案是一个多项式，(x^i) 表示不同的边数恰好为 (i) 的生成树个数

• 这样有一个问题：高斯消元求行列式的复杂度为 (O(n^3))，多项式运算的复杂度为 (O(n^2))（用 FFT 可能在常数上还比不过平方），总复杂度 (O(n^5))，不太能过

• 不过最终答案的多项式次数只有 (n-1)，我们考虑插值，把每条边的权值改为 (n) 个点值，可以取 (1) 到 (n)

• 这样高斯消元时，多项式乘法就变成了点乘，可以 (O(n)) 计算，复杂度为 (O(n^4))，可以通过此题

Solution 2：容斥+prufer 序列+树形 DP

• 如果你做过「WC2019」数树的话，你会发现这是数树的 (op=1) 弱化版

• 考虑如何计算不同的边数恰好为 (k) 的方案数

• 考虑容斥：

• [sum_{m=0}^{k}(-1)^{k-m}inom{n-1-m}{k-m}f(m)]

• (f(m)) 表示选出一个大小为 (n-1-m) 的边集并让它们和原树相同的方案数，(inom{n-1-m}{k-m}) 的含义是枚举这个 (f(m)) 所在的大小为 (k) 的集合是哪个

• 显然 (f(m)) 也可以看成原树删掉 (m) 条边分成 (m) 个连通块之后再连 (m) 条边组成一个新树的方案数

• 可以使用 prufer 序列或 Matrix-Tree 矩阵树定理推出一个结论：

• (n=sum_{i=1}^ma_i)，(m) 个连通块，大小分别为 (a_{1dots m})，再加 (m-1) 条边形成树的方案数为：

• [n^{m-2}prod_{i=1}^ma_i]

• 显然对于所有把原树划分成 (m) 个连通块的方案，(n^{m-2}) 是确定的，于是我们只需关注 (prod_{i=1}^ma_i)

• 于是对这个东西进行树形 DP：(f[u][i][j]) 表示 (u) 的子树选出了 (i) 个连通块，其中根所在的连通块大小为 (j)，除根所在之外的所有连通块大小积之和

• 大力转移，还是 (O(n^4))

• 和数树那题一样，如果利用 (prod_{i=1}^ma_i) 的组合意义（每个连通块里选一个点的方案数）可以设计一个新的状态 (f[u][i][0/1]) 表示 (u) 的子树选出了 (i) 个连通块，第三维表示是否已经选出了一个点，这样的复杂度 (O(n^2))

Solution 3

• 我不会，可以问 PinkRabbit

Code

• 咕咕咕