树状数组

Posted 2021-03-13 gcw0618

基本用途：维护序列的前缀和。

对于给定的序列a，建立一个数组c，其中c[x]保存序列a的区间[x-lowbit(x)+1,x]中所有数的和，其中lowbit(x)指：x的二进制下最小的2的次幂，如：　　　　　　　lowbit(7)=1,lowbit(6)=2,lowbit(5)=1,lowbit(4)=4

 该结构满足一下性质：

1. 每个内部节点c[x]保存以它为根的子树中所有叶节点的和
2. 每个内部节点c[x]的子节点个数等于lowbit(x)的位数
3. 除树根外，每个内部节点c[x]的父节点是c[x+lowbit(x)]
4. 树的深度为o(logN)

 

初始化 建立一个全为0的数组c，对位置x初始化为a[x]，执行add(x,a[x])  

时间复杂度O(NlogN)

 void add(int x,int y){
  for(;x<=n;x+=x&-x) c[x]+=y;
 }

 

单点增加  对位置x增加a[x]，执行add(x,a[x])

void add(int x,int y){
  for(;x<=n;x+=x&-x) c[x]+=y;
}

 

查询前缀和（1~x）时间复杂度O(logN)

int ask(int x){
  int res=0;
  for(;x;x-=x&-x) res+=c[x];
  return res; 
 }

若查询序列a的区间[l,r]中所有数的和，只需计算ask(r)-ask(l-1)

 

模板题：https://www.luogu.com.cn/problem/P3374