位运算

Posted 2021-03-13 dreaminpal

二进制状态压缩

二进制状态压缩，是指将一个长度为m的bool数组用一个长度为 m 位二进制整数表示并储存的方法。

操作	运算
取出整数n在二进制表示下的第k位	(n >> k) & 1
取出整数n在二进制表示下的后k位	(n&(1 << k) - 1)
把整数n在二进制表示下的第k位取反	n xor (1 << k)
对整数n在二进制表示下的第k位赋值1	n|(1<<k)
对整数n在二进制表示下的第k位赋值0	n & (~(1<<k))

这种运算方法简便，当 m 不大时，可以直接使用一个整数类型储存。当m较大时，可以使用数组储存，也可以利用C++STL提供的bitset

例题：最短Hamilton路径

题目链接

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式

第一行输入整数n。

接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（记为a[i,j]）。

对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

输出格式

输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

数据范围

1≤n≤20
0≤a[i,j]≤107

在任意时刻，又公式F[i,j] = min(F[i ^ (1 << j), k] + weight[k][j])，其中0≤k<n并且((i >> j) & 1) = 1，即当前时刻“被经过的点的状态”对应的二进制数为i，位于点j。因为j只能被经过一次，所以一定是刚刚经过的，故在上一时刻“被经过的状态”对应的二进制数第j位应赋值为0，也就是i ^ (1 << j)。另外，上一时刻所在的位置可能是i ^ (1 << j)中任意一个是1的数位k，从k走到j需经过weight(k, j)的路程，可以考虑所有这样的k取最小值。

#include <bits/stdc++.h>


using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9;
pair<int, int> PII;
const int N = 20 + 10;
int weight[N][N], f[1 << 20][N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++) cin >> weight[i][j];
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[1][0] = 0;            //初始步数为0
    for (int i = 1; i < 1 << 20; i++)       //i表示被经过的点
        for (int j = 0; j < n; j++)
            if (i >> j & 1)                 //判断当前时刻，被经过点的状态
                for (int k = 0; k < n; k++)
                    if ((i ^ 1 << j) >> k & 1) f[i][j] = min(f[i][j], f[i ^ 1 << j][k] + weight[k][j]);
    cout << f[(1 << n) - 1][n - 1] << endl;
    return 0;
}